Question

如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，點B，C，D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結論：①tan∠AEC=

BC

CD

；②S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；③BM⊥DM；④BM=DM．正確結論的個數是（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：①根據等腰直角三角形的性質及△ABC∽△CDE的對應邊成比例知，

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

；然后由直角三角形中的正切函數，得tan∠AEC=

AC

EC

，再由等量代換求得tan∠AEC=

BC

CD

；
②由三角形的面積公式、梯形的面積公式及不等式的基本性質a²+b²≥2ab（a=b時取等號）解答；
③、④通過作輔助線MN，構建直角梯形的中位線，根據梯形的中位線定理及等腰直角三角形的判定定理解答．

解答：解：∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°；
∵△ABC∽△CDE
∴

AC

EC

=

AB

ED

=

BC

CD

①∴tan∠AEC=

AC

EC

，
∴tan∠AEC=

BC

CD

；故本選項正確；
②∵S_△ABC=

1

2

a²，S_△CDE=

1

2

b²，S_梯形ABDE=

1

2

（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=

1

2

（a²+b²）≥ab（a=b時取等號），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE；故本選項正確；
④過點M作MN垂直于BD，垂足為N．
∵點M是AE的中點，
則MN為梯形中位線，
∴N為中點，
∴△BMD為等腰三角形，
∴BM=DM；故本選項正確；
③又MN=

1

2

（AB+ED）=

1

2

（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM；故本選項正確．
故選D．

點評：本題綜合考查了等腰直角三角形的判定與性質、梯形的中位線定理、銳角三角函數的定義等知識點．在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．