Question

如圖，△ABC的面積為1，分別取AC、BC兩邊的中點(diǎn)A₁、B₁，則四邊形A₁ABB₁的面積為

 

，再分別取A₁C、B₁C的中點(diǎn)A₂、B₂，A₂C、B₂C的中點(diǎn)A₃、B₃，依次取下去…．利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=

 

．

Answer 1

分析：對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出變化規(guī)律是此類題目中的難點(diǎn)．

解答：解：∵A₁、B₁分別是AC、BC兩邊的中點(diǎn)，
且△ABC的面積為1，
∴△A₁B₁C的面積為1×

1

4

．
∴四邊形A₁ABB₁的面積=△ABC的面積-△A₁B₁C的面積=

3

4

=1-

1

4

；
∴四邊形A₂A₁B₁B₂的面積=△A₁B₁C的面積-△A₂B₂C的面積=

1

4

-

1

42

=

3

42

．
…，
∴第n個四邊形的面積=

1

4n-1

-

1

4n

=

3

4n

．
故

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

42

）+…+（

1

4n-1

-

1

4n

）=1-

1

4n

．
故答案為：

3

4

，1-

1

4n

．

點(diǎn)評：主要考查了學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力．