Question

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A，C分別在DG和DE上，連接AE，BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論；
（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若BC=DE=2，在（2）的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進(jìn)而可得BG=AE；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求BG的最大值，分析可得此時(shí)F的位置，由勾股定理可得答案．

解答：解：（1）BG=AE，
證明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
又∵正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA；
∴Rt△BDG≌Rt△ADE；
∴BG=AE；

（2）成立：
證明：連接AD，
∵Rt△BAC中，D為斜邊BC的中點(diǎn)，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD為正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△ADE中，

BD=AD ∠BDG=∠ADE GD=ED

∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；

（3）由（2）可得BG=AE，當(dāng)BG取得最大值時(shí)，AE取得最大值；
分析可得：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為270°時(shí)，BG=AE最大值為1+2=3，
此時(shí)如圖：AF=

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點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．