Question

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系．
（1）求點的坐標：A

 

，B

 

，C

 

，

 

，AD的中點E

 

；
（2）求以E為頂點，對稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過點B，C的拋物線的解析式；
（3）求對角線BD與上述拋物線除點B以外的另一交點P的坐標；
（4）△PEB的面積S_△PEB與△PBC的面積S_△PBC具有怎樣的關系？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意和圖象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）根據(jù)題意可設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，把點B（0，-1）代入可得a=-

1

2

，即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）利用直線BD的解析式為y=

1

2

x-1，和拋物線解析式聯(lián)立成方程組即可求得交點坐標為P（3，

1

2

）；
（4）分別求出S_△PEB=

1

2

S_△PBC•S_△PBC=

1

2

×4×

3

2

=3，S_△PEB=

1

2

×（1×2+1×1）=

3

2

，從而證明S_△PEB=

1

2

S_△PBC．

解答：解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；

（2）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²+1，
∵拋物線經(jīng)過點B（0，-1），
∴a（0-2）²+1=-1，解得a=-

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-2）²+1，
經(jīng)驗證，拋物線y=-

1

2

（x-2）²+1經(jīng)過點C（4，-1）；

（3）直線BD的解析式為y=

1

2

x-1，解方程組得點P的坐標：P（3，

1

2

）；

（4）S_△PEB=

1

2

S_△PBC•S_△PBC=

1

2

×4×

3

2

=3，S_△PEB=

1

2

×（1×2+1×1）=

3

2

，
∴S_△PEB=

1

2

S_△PBC．

點評：主要考查了坐標的對稱特點和二次函數(shù)中的有關性質．本題是數(shù)形結合的綜合題，要熟練運用解析式與點的坐標之間的關系求解．把幾何圖形有機的和二次函數(shù)結合起來．