Question

如圖，在△ABC中，AC=40，BC=30，AB=50．矩形DEFG的邊EF在AB上，頂點(diǎn)D、G分別在AC、BC上．設(shè)EF=x．
（1）用含x的代數(shù)式表示DE的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)x取什么值時(shí)，矩形DEFG的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）作CH⊥AB于H，交DG于T，由條件可得△CDG∽△CAB，就有，由條件可以求得△ABC為Rt△，可以求出CH 的值，從而就可以表示出DE．
（2）由（1）的解析式表示出矩形的面積，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式就可以求出其最大值．
解答：解：（1）如圖，∵AC=40，BC=30，AB=50，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．
作CH⊥AB于H，交DG于T，
∴AB．CH=AC．BC，
∴50CH=30×40，
∴CH=24．
∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，TH=DE，
∴△CDG∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=24-x；

（2）設(shè)矩形的面積為S，
S=x（24-x），
=-x²+24x，
=-（x²-50x），
=-（x-25）²+300，
故當(dāng)x=25時(shí)，矩形的最大面積為300．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的逆定理的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的面積公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用及最值的確定．