Question

【題目】在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，點(diǎn)P從B出發(fā)，以1厘米/秒的速度沿邊BO運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（x＞0）秒．△APC是以AP為斜邊的等腰直角三角形，且C，O兩點(diǎn)在直線AB的同側(cè)，連接OC．

（1）當(dāng)x=1時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)x=2時(shí)，求tan∠CAO的值；

（3）設(shè)△POC的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（0<x<4）

【解析】試題分析:(1)根據(jù)x=1求出BP,OP根據(jù)勾股定理求出AP,根據(jù)余弦的定義求出AC,就算即可,(2) 作,交AB于H,垂足為H,因?yàn)椤?/span>AOB, △ACP都是等腰三角形,

所以∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC=45°,所以∠BAP=∠OAC, 當(dāng)x=2時(shí),BP=2,

在Rt△BPH中,∠B=45°,BP=2所以 ,因?yàn)?/span>Rt△ABO中,AO=BO=4,

所以,所以,所以tan∠CAO=tan∠BAP=,(3)根據(jù)題目可分三種情況, ①,②t=4③t>4,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和正弦的定義以及三角形的面積公式計(jì)算即可.

解：（1）當(dāng)x=1時(shí),OP=3,OA=4,

在Rt△AOP中,AP=5,

∵△ACP為等腰三角形,

∴AC=APcos45°=,

∴,

（2）作,交AB于H,垂足為H,

∵△AOB,△ACP都是等腰三角形,

∴∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC=45°,

∴∠BAP=∠OAC,

當(dāng)x=2時(shí),BP=2,

在Rt△BPH中,∠B=45°,BP=2,

∴ ,

∵Rt△ABO中,AO=BO=4,

∴,

∴ ,

∴tan∠CAO=tan∠BAP= ,

（3）∵∠BAO=∠PAC=∠B=∠APC =45°,

∴△BAO∽△PAC,

∴∴,

∵∠BAP=∠OAC,

∴△APB∽△ACO,

∴∠B=∠AOC=45°,

,

∴,

作CM⊥BO,垂足為M,

則CM=OCsin45°= ,

∴（0<x<4）.