Question

如圖，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF=CF．其中正確的有

①②③

．（填正確的序號）

Answer 1

分析：由△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，DE∥BC，易證得△BDF和△CEF都是等腰三角形，繼而可得DE=BD+CE，又由△ADE的周長為：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；即可得△ADE的周長等于AB與AC的和．

解答：解：∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠FCB，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴DB=DF，EF=EC，
即△BDF和△CEF都是等腰三角形；
故①正確；
∴DE=DF+EF=BD+CE，
故②正確；
∴△ADE的周長為：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC；
故③正確；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF與CF不一定相等，
故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評：此題考查了等腰三角形的性質與判定以及角平分線的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想與轉化思想的應用．