Question

如圖，⊙A與x軸交于B（2，0）、C（4，0）兩點(diǎn)，OA=3，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD切⊙O于點(diǎn)D，則PD的最小值是

2

2

．

Answer 1

分析：連接AP，由B和C的坐標(biāo)，得出OB及OC的值，根據(jù)OC-OB=BC求出BC的長，即為圓A的直徑，可得出圓A的半徑，進(jìn)而由OA=OB+AB可得出OA的長，設(shè)P的坐標(biāo)為（0，y），表示出OP=|y|，在直角三角形OAP中，根據(jù)勾股定理表示出AP²，由DP為圓A的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD與DP垂直，可得三角形APD為直角三角形，由AD及表示出的AP²，利用勾股定理表示出PD的長，根據(jù)完全平方式最小值為0，可得出當(dāng)y=0時(shí)，PD達(dá)到最小值，即可求出此時(shí)PD的長．

解答：解：連接AP，如圖所示：

∵B（2，0）、C（4，0），
∴OB=2，OC=4，
∴BC=OC-OB=4-2=2，即圓A的直徑為2，
∴AD=1，OA=OB+AB=2+1=3，
又∵DP為圓A的切線，
∴AD⊥DP，
∴∠ADP=90°，
設(shè)P（0，y），
在Rt△AOP中，OA=3，OP=|y|，
根據(jù)勾股定理得：AP²=OA²+OP²=9+y²，
在Rt△APD中，AD=1，
根據(jù)勾股定理得：PD²=AP²-AD²=9+y²-1=y²+8，
則PD=

y2+8

，
則當(dāng)y=0時(shí)，PD達(dá)到最小值，最小值為

8

=2

2

．
故答案為：2

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是連接出輔助線AP，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理及切線的性質(zhì)來解決問題．