Question

【題目】如圖：

（1）如圖1，將長(zhǎng)方形紙片ABFE沿著線段DC折疊，CF交AD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HG∥DC，交線段CB于點(diǎn)G．

①判斷∠FHG與∠EDC是否相等，并說(shuō)明理由；

②說(shuō)明HG平分∠AHC的理由．

（2）如圖2，如果將(1)中的已知條件改為折疊三角形紙片ABE，其它條件不變．HG是否平分∠AHC？如果平分請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不平分，請(qǐng)找出∠CHG，∠AHG與∠E的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①∠FHG=∠EDC，見解析；②見解析；（2）HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E，見解析.

【解析】

（1） ①根據(jù)平行線性質(zhì)得∠EDA＝∠FHA，∠ADC＝∠AHG，由角的計(jì)算即可得證.

② HG平分∠AHC，理由如下：將圖形折回到其原始狀態(tài)，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，由折疊性質(zhì)知：∠FCD＝∠DCM，根據(jù)平行線性質(zhì)得：∠DCM＝∠HGC，∠DCH＝∠CHG，∠CGH＝∠AHG，等量代換得∠CHG＝∠AHG，根據(jù)角平分線定義即可得證.

（2） HG不再平分∠AHC，∠AHG＝∠CHG＋∠E；理由如下：如圖：延長(zhǎng)線段AD和BC交于點(diǎn)F，根據(jù)平行線性質(zhì)得：∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，∠AHG＝∠ADC，由三角形內(nèi)角和定理、等量代換即可得證.

（1）①如圖1，

∵DE∥CF，

∴∠EDA＝∠FHA(兩直線平行，同位角相等)，

∵HG∥DC，

∠ADC＝∠AHG(兩直線平行，同位角相等)，

∴∠EDA +∠ADC=∠FHA +∠AHG，

∴∠FHG=∠EDC.

② HG平分∠AHC，理由如下：

將圖形折回到其原始狀態(tài)，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，

由折疊知∠FCD＝∠DCM．

∵HG∥DC，

∴∠DCM＝∠HGC(兩直線平行，同位角相等)，

∠DCH＝∠CHG(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

∵AD∥BC，

∴∠CGH＝∠AHG(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，

∴∠CHG＝∠AHG，

即HG平分∠AHC．

（2）HG不再平分∠AHC．∠AHG＝∠CHG＋∠E．

理由如下：

如圖2，延長(zhǎng)線段AD和BC交于點(diǎn)F，

得到∠ECD＝∠FCD．

∵HG∥DC，

∴∠CHG＝∠DCH＝∠FCD，

∠AHG＝∠ADC，

∵∠ADC＋∠FDC＝180

又∵∠F＋∠FCD＋∠FDC＝180

∴∠AHG＝∠CHG＋∠E