Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），與y軸的正半軸交于點C，頂點為E．
（1）求拋物線解析式及頂點E的坐標(biāo)；
（2）如圖，過點E作BC平行線，交x軸于點F，在不添加線和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：______；
（3）將拋物線向下平移，與x軸交于點M、N，與y軸的正半軸交于點P，頂點為Q．在四邊形MNQP中滿足S_△NPQ=S_△MNP，求此時直線PN的解析式．

Answer 1

（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c的得

0=-1-b+c 0=-9+3b+c

，
解得：

b=2 c=3

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3，
即y=-（x-1）²+4．
∴拋物線頂點E的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）∵EF∥BC，
∴△BCF與△BCE的BC邊上的高相等，
S_△BCF=S_△BCE．

（3）將拋物線向下平移，則頂點Q在對稱軸x=1上，
∴-

b

2a

=1，
∴-

b

-2

=1，
∴b=2，
設(shè)拋物線的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）．
∴此時，拋物線與y軸的交點為P（0，c），頂點為Q（1，1+c）．
∴OP=c，DQ=1+c．
∵y=0時
∴-x²+2x+c=0，
∴x1=1-

1+c

，x2=1+

1+c

，
∴M(1-

1+c

，0)，N(1+

1+c

，0)．
如圖，過點Q作QG∥PN與x軸交于點G，連接NG，則S_△PNG=S_△PNQ．
∵S_△NPQ=S_△MNP，
∴S_△MNP=S_△PNG．
∴NG=MN=2

1+c

．
設(shè)對稱軸x=1與x軸交于點D，
∴DG=

1

2

MN+NG=3

1+c

．
∵QG∥PN，
∴∠PND=∠QGD．
∴Rt△QDG∽Rt△PON．
∴

QD

DG

=

PO

ON

．
∴

1+c

3 1+c

=

c

1+ 1+c

．
c=

5

4

．
∴點P(0，

5

4

)，N(

5

2

，0)．
設(shè)直線PN的解析式為y=mx+n，將P，N兩點代入，得

5 4 =n 0= 5 2 +n

，
解得：

m=-- 1 2 n= 5 4

∴直線PN的解析式為y=-

1

2

x+

5

4

．
故答案為：△BCF與△BCE．