Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且AC＝80，BD＝60．動(dòng)點(diǎn)M、N分別以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)A、D同時(shí)出發(fā)，分別沿A→O→D和D→A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)求菱形ABCD的周長；

(2)記△DMN的面積為S，求S關(guān)于t的解析式，并求S的最大值；

(3)當(dāng)t=30秒時(shí)，在線段OD的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得∠DPO=∠DON？若存在，這樣的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出點(diǎn)P到線段OD的距離；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）200；（2）480；（3）2，．

【解析】

試題分析：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形、等腰三角形、中垂線、勾股定理、解直角三角形、二次函數(shù)極值等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．第（2）問中，動(dòng)點(diǎn)M在線段AO和OD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是兩種不同的情形，需要分類討論；第（3）問中，滿足條件的點(diǎn)有2個(gè)，注意不要漏解.

（1）根據(jù)勾股定理及菱形的性質(zhì)，求出菱形的周長；

（2）在動(dòng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中：①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，如答圖1所示，②當(dāng)40＜t≤50時(shí)，如答圖2所示．分別求出S的關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值；

（3）如答圖4所示，作ON的垂直平分線，交EF于點(diǎn)I，連接OI，IN．過點(diǎn)N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H．易得△DNG∽△DAO，由EF垂直平分OD，得到OE=ED=15，EG=NH=3，再設(shè)OI=R，EI=x，根據(jù)勾股定理，在Rt△OEI和Rt△NIH中，得到關(guān)于R和x的 方程組，解得R和x的值，把二者相加就是點(diǎn)P到OD的距離，即PE=PI＋I(xiàn)E=R+x，又根據(jù)對(duì)稱性可得，在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P′也滿足條件，故存在兩個(gè)點(diǎn)P，到OD的距離也相同，從而問題解決．

試題解析：（1）如圖①)在菱形ABCD中，OA=AC=40， OD=BD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD==50，

∴菱形ABCD的周長為200；

（2）(如圖②)過點(diǎn)M作MH⊥AD于點(diǎn)H．

① (如圖②甲)①當(dāng)0＜t≤40時(shí)，

∵sin∠OAD===，

∴MH=t，

∴S=DN·MH=t2．

②(如圖②乙)當(dāng)40＜t≤50時(shí)，

∴MD=80-t，

∵sin∠ADO=-，

∴MH=(70-t)，

∴S=DN·MH,

=-t2＋28t

＝-(t-35)2＋490．

∴S=，

當(dāng)0＜t≤40時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480．

當(dāng)40＜t≤50時(shí)，S隨t的增大而增大，當(dāng)t=40時(shí)，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480；

(3)存在2個(gè)點(diǎn)P，使得∠DPO=∠DON．

(如圖④)作ON的垂直平分線，交EF于點(diǎn)I，連接OI，IN．

過點(diǎn)N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分別為G，H．

當(dāng)t=30時(shí)，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，

∴NG=24，DG=18．

∵EF垂直平分OD，

∴OE=ED=15，EG=NH=3，

設(shè)OI=R，EI=x，則

在Rt△OEI中，有R2=152＋x2……①，

在Rt△NIH中，有R2=32＋(24-x)2……②，

由①,②可得：,

∴PE=PI＋I(xiàn)E=．

根據(jù)對(duì)稱性可得，在BD下方還存在一個(gè)點(diǎn)P′也滿足條件，

∴存在兩個(gè)點(diǎn)P，到OD的距離都是．