Question

【題目】某商家計(jì)劃從廠家采購空調(diào)和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺(tái)，空調(diào)的采購單價(jià)y1（元/臺(tái)）與采購數(shù)量x1（臺(tái)）滿足y1=﹣20x1+1500（0＜x1≤20，x1為整數(shù)）；冰箱的采購單價(jià)y2（元/臺(tái)）與采購數(shù)量x2（臺(tái)）滿足y2=﹣10x2+1300（0＜x2≤20，x2為整數(shù)）．

（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調(diào)的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的，且空調(diào)采購單價(jià)不低于1200元，問該商家共有幾種進(jìn)貨方案？

（2）該商家分別以1760元/臺(tái)和1700元/臺(tái)的銷售單價(jià)售出空調(diào)和冰箱，且全部售完．在（1）的條件下，問采購空調(diào)多少臺(tái)時(shí)總利潤最大？并求最大利潤

Answer 1

【答案】（1）5種進(jìn)貨方案；（2）采購空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元

【解析】

（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購數(shù)量為（20-x）臺(tái)，然后根據(jù)數(shù)量和單價(jià)列出不等式組，求解得到x的取值范圍，再根據(jù)空調(diào)臺(tái)數(shù)是正整數(shù)確定進(jìn)貨方案；

（2）設(shè)總利潤為W元，根據(jù)總利潤等于空調(diào)和冰箱的利潤之和整理得到W與x的函數(shù)關(guān)系式并整理成頂點(diǎn)式形式，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值即可．

解：（1）設(shè)空調(diào)的采購數(shù)量為x臺(tái)，則冰箱的采購數(shù)量為（20﹣x）臺(tái)，

由題意得， ，

解不等式①得，x≥11，

解不等式②得，x≤15，

所以，不等式組的解集是11≤x≤15，

∵x為正整數(shù)，

∴x可取的值為11、12、13、14、15，

所以，該商家共有5種進(jìn)貨方案；

（2）設(shè)總利潤為W元，

y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

則W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，

=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，

=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

當(dāng)x＞9時(shí)，W隨x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴當(dāng)x=15時(shí)，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），

答：采購空調(diào)15臺(tái)時(shí)，獲得總利潤最大，最大利潤值為10650元．