Question

如圖，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，以CD為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)．
求證：GE是⊙O的切線．

Answer 1

證明：連接OE，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠CED=90°，
∴∠AED=90°，
又G為AD的中點(diǎn)，
∴EG=AD=DG，
∴∠GED=∠GDE，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠GED+∠OED=∠GDE+∠ODE，即∠OEG=∠ODG，
∵∠ODG=90°，
∴∠OEG=90°，
∴GE為⊙O的切線．
分析：由CD為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠CED為直角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠AED為直角，又G為斜邊AD的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EG為AD的一半，又G為AD中點(diǎn)，可得GD為AD的一半，等量代換可得GE與GD相等，根據(jù)等邊對(duì)等角可得一對(duì)角相等，由半徑OE與OD相等，也根據(jù)等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，兩個(gè)等式左右相加可得∠OEG與∠ODG相等，由已知∠ADC為直角，可得∠OEG為直角，利用切線的判定方法可得出EG與圓O相切，得證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，涉及的知識(shí)有：圓周角定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的思想，其中切線的判定方法有兩種，分別為：有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心，證明垂直；無(wú)點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于半徑．