Question

如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，點P在AD上，過點P作PM∥AC交AB于點M，作PN∥AB交AC于點N．
（1）若點D是BC的中點，且AP：PD=2：1，求AM：AB的值；
（2）若點D是BC的中點，試證明；
（3）若點D是BC上任意一點，試證明．

Answer 1

解：（1）過點D作DE∥PM交AB于E，
∵點D為BC中點，
∴點E是AB中點，且，
∴；

（2）延長AD至點Q，使DQ=AD，連BQ、CQ，
則四邊形ABQC是平行四邊形．
∴PM∥BQ，PN∥CQ，
∴，
∴；
（注：像第（1）題那樣作輔助線也可以．）

（3）過點D作DE∥PM交AB于E，
∴，
又∵PM∥AC，
∴DE∥AC
∴，
∴
同理可得：
∴．
（注：如果像第（2）題那樣添輔助線，也可以證．）
分析：（1）過點D作DE∥PM交AB于E，由點D為BC中點與AP：PD=2：1，根據平行線分線段成比例定理，即可求得AM：AB的值；
（2）延長AD至點Q，使DQ=AD，連BQ、CQ，易得四邊形ABQC是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得PM∥BQ，PN∥CQ，繼而可得；
（3）過點D作DE∥PM交AB于E，即可得，又由PM∥AC，根據平行線分線段成比例定理可得，繼而求得．
點評：此題考查了平行線分線段成比例定理與平行四邊形的性質與判定．注意掌握數形結合思想的應用與輔助線的作法是解此題的關鍵．