Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)(OA＜OB)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩根，點(diǎn)D為線段OB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作AB的垂線與線段AB相交于點(diǎn)C．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)解析式；

(3)已知點(diǎn)P在直線AD上，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A、O、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1) A(6，0)，B(0，12)； (2) y=； (3) 點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3，-3)或(，)或(，)或(6，6)．

【解析】

（1）直接求出一元二次方程的解，即可解決問(wèn)題．

（2）先求出直線AB、CD的解析式．利用方程組求出點(diǎn)C坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題．

（3）分四種情形①當(dāng)OA是菱形AP1OQ1的對(duì)角線時(shí)，②當(dāng)OA為菱形AP2Q2O的邊時(shí)，③當(dāng)OA為菱形AP3Q3O的邊時(shí)，④當(dāng)OA為菱形A Q4P4O的邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P4與點(diǎn)D重合，菱形A Q4P4O變?yōu)檎�方形，分別求解即可．

（1）由x2-18x+72=0，解得：x=6或12，

∴OA=6，OB=12，

∴A(6，0)，B(0，12)；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把A(6，0)，B(0，12)代入得：，解得，

∴直線AB的解析式為：y=-2x+12，

延長(zhǎng)CD，交x軸與點(diǎn)E，

∵DC⊥AB，D(0，6)，

∴∠AEC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠AEC=∠OBA，

∵∠DOE=∠AOB，OD=OA=6，

∴DOEAOB（AAS），

∴OE=OB=12，

∴E(-12，0)，

設(shè)直線DC的解析式為：y=kx+b，

把D(0，6)，E(-12，0)代入y=kx+b，得：，解得：，

∴直線DC的解析式為：y=x+6，

由，解得，

∴交點(diǎn)C坐標(biāo)(，)，

∴過(guò)點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式為：y=；

（3）①當(dāng)OA是菱形AP1OQ1的對(duì)角線時(shí)，易知P1(3，3)，

∵P1與Q1關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴Q1(3，-3)；

②當(dāng)OA為菱形AP2Q2O的邊時(shí)，

∵OA=AP2=P2Q2=6，∠OAD=45°，

∴P2(6-3，3)，Q2(-3，3)；

③當(dāng)OA為菱形AP3Q3O的邊時(shí)，同理可得Q3(3，-3)；

④當(dāng)OA為菱形A Q4P4O的邊時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P4與點(diǎn)D重合，菱形A Q4P4O變?yōu)檎�方形�?/span>Q4(6，6)，

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q坐標(biāo)為(3，-3)或(，)或(，)或(6，6)．