Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的半圓O，與斜邊AC交于D，E是BC邊上的中點(diǎn)，連接DE．
（1）DE與半圓O相切嗎？若相切，請(qǐng)給出證明；若不相切，說(shuō)明理由；
（2）如果AD，AB的長(zhǎng)是方程x²-10x+24=0的兩個(gè)根，試求直角邊BC的長(zhǎng)；
（3）試在（1）（2）的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)有價(jià)值的問(wèn)題（不必解答）．

Answer 1

分析：（1）連接OD，BD，根據(jù)圖形中角與角之間的關(guān)系易得∠EDO=90°，故OD⊥DE，DE與半圓O相切；
（2）求解方程可得AD，AB的長(zhǎng)，同時(shí)易得Rt△ABD∽R(shí)t△ACB，即AB²=AD•AC，根據(jù)勾股定理可得BC的長(zhǎng)；
（3）根據(jù)題意，提出問(wèn)題即可，如求四邊形ABED的面積，符合題意即可．

解答：解：（1）DE與半圓O相切．
證明：連接OD，BD，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠BDA=∠BDC=90°．
∵在Rt△BDC中，E是BC邊上的中點(diǎn)，
∴DE=BE=

1

2

BC，得∠EBD=∠BDE．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
又∵∠ABC=∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，故DE與半圓O相切．

（2）∵BD⊥AC，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△ACB．
∴

AB

AC

=

AD

AB

．
即AB²=AD•AC．
∴AC=

AB2

AD

．
∵AD，AB的長(zhǎng)是方程x²-10x+24=0的兩個(gè)根，
∴解方程得x₁=4，x₂=6．
∵AD＜AB，
∴AD=4，AB=6．
∴AC=

AB2

AD

=

62

4

=9．
又∵在Rt△ABC中，AB=6，AC=9，
∴BC=

AC2-AB2

=

81-36

=3

5

．

（3）問(wèn)題1：求四邊形ABED的面積；
問(wèn)題2：求兩個(gè)弓形的面積；
問(wèn)題3：求

AD

：

BD

的值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查常見(jiàn)的幾何題型，包括切線的判定，線段長(zhǎng)度的求法，要求學(xué)生掌握常見(jiàn)的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡(jiǎn)單的方法解題．