如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn) B(b,t)在直線x=b上運(yùn)動,點(diǎn)D、E、F分別為OB、0A、AB的中點(diǎn),其中b是大于零的常數(shù).
(1)判斷四邊形DEFB的形狀.并證明你的結(jié)論;
(2)試求四邊形DEFB的面積S與b的關(guān)系式;
(3)設(shè)直線x=b與x軸交于點(diǎn)C,問:四邊形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,說明理由.

【答案】分析:(1)四邊形DEFB是平行四邊形.利用DE、EF為△OAB的中位線證明平行四邊形;
(2)根據(jù)DE、EF為△OAB的中位線可知,S△AEF=S△ODE=S△AOB,利用S=S△AOB-S△AEF-S△ODE求S與b的關(guān)系式;
(3)當(dāng)∠ABO=90°時(shí),四邊形DEFB是矩形,由Rt△OCB∽Rt△ABO,根據(jù)相似比得OB2=OA•BC,由勾股定理得OB2=BC2+OC2,利用b、t分別表示線段的長,列方程求解.
解答:解:(1)四邊形DEFB是平行四邊形.
證明:∵D、E分別是OB、OA的中點(diǎn),
∴DE∥AB,同理,EF∥OB,
∴四邊形DEFB是平行四邊形;

(2)解法一:∵S△AOB=×8×b=4b,
由(1)得EF∥OB,∴△AEF∽△AOB,
=(2,即S△AEF=S△AOB=b,同理S△ODE=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,即S=2b(b>0);
解法二:如圖,連接BE,S△AOB=×8×b=4b,
∵E、F分別為OA、AB的中點(diǎn),
∴S△AEF=S△AEB=S△AOB=b,
同理S△EOD=b,
∴S=S△AOB-S△AEF-S△ODE=4b-b-b=2b,
即S=2b(b>0);

(3)解法一:以E為圓心,OA長為直徑的圓記為⊙E,
①當(dāng)直線x=b與⊙E相切或相交時(shí),若點(diǎn)B是切點(diǎn)或交點(diǎn),則∠ABO=90°,由(1)知,四邊形DEFB是矩形,
此時(shí)0<b≤4,可得△AOB∽△OBC,
=,即OB2=OA•BC=8t,
在Rt△OBC中,OB2=BC2+OC2=t2+b2,
∴t2+b2=8t,
∴t2-8t+b2=0,
解得t=4±,
②當(dāng)直線x=b與⊙E相離時(shí),∠ABO≠90°,
∴四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當(dāng)0<b≤4時(shí),四邊形DEFB是矩形,這時(shí),t=4±,當(dāng)b>4時(shí),四邊形DEFB不是矩形;
解法二:由(1)知,當(dāng)∠ABO=90°時(shí),四邊形DEFB是矩形,
∵∠COB+∠AOB=90°,∠OAB+∠AOB=90°,
∴∠COB=∠OAB,
又∵∠ABO=∠OCB=90°,
∴Rt△OCB∽Rt△ABO,
=,即OB2=OA•BC,
又OB2=BC2+OC2=t2+b2,OA=8,BC=t(t>0),
∴t2+b2=8t,
∴(t-4)2=16-b2,
①當(dāng)16-b2≥0時(shí),解得t=4±,此時(shí)四邊形DEFB是矩形,
②當(dāng)16-b2<0時(shí),t無實(shí)數(shù)解,此時(shí)四邊形DEFB不是矩形,
綜上所述:當(dāng)16-b2≥0時(shí),四邊形DEFB是矩形,此時(shí)t=4±,當(dāng)16-b2<0時(shí),四邊形DEFB不是矩形;
解法三:如圖,過點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為M,
在Rt△AMB中,AB2=AM2+BM2=b2+(8-t)2,
在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=b2+t2,
在△OAB中,當(dāng)AB2+OB2=OA2時(shí),∠ABO=90°,則四邊形DEFB為矩形,
∴b2+(8-t)2+b2+t2=82,
化簡得t2-8t=-b2,配方得(t-4)2=16-b2,其余同解法二.
點(diǎn)評:本題考查了平行四邊形、矩形、相似三角形的判定與性質(zhì),一次函數(shù)及勾股定理的運(yùn)用.本題綜合性較強(qiáng),需要熟練掌握特殊圖形的性質(zhì),形數(shù)結(jié)合,運(yùn)用代數(shù)方法解答幾何問題.
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(24,0)

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PP′
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如圖,在直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn).反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象經(jīng)過第一象限的點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的
3
2
倍.
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)如果經(jīng)過點(diǎn)A的一次函數(shù)圖象與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)B,AC⊥x軸于點(diǎn)C,若△ABC的面積為9,求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.
(3)點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=
6
x
的圖象上,且點(diǎn)D在直線AC的右側(cè),作DE⊥x軸于點(diǎn)E,當(dāng)△ABC與△CDE相似時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).

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6
6
;
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(8052,0)
(8052,0)

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