Question

【題目】如圖，已知Rt△AOB中,∠AOB=90,AO=5,BO=3,點(diǎn)E、M是線(xiàn)段AB上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),分別過(guò)E、M作AO的垂線(xiàn),垂足分別為K、L.

①△OEK面積S的最大值為 ；

②若以O(shè)E、OM為邊構(gòu)造平行四邊形EOMF，當(dāng)EM⊥OF時(shí)，OK+OL= .

Answer 1

【答案】①，②.

【解析】

試題分析：本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)，綜合性很強(qiáng)，屬于較難題，需要學(xué)生有綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

①根據(jù)條件證明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根據(jù)三角形的面積公式，列出關(guān)于OK的關(guān)系式即可；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出答案．

①∵EK⊥OA，∠AOB=90°，

∴△OBA∽△KEA．

∴=，

∴＝，

∴KE=，

∴S=×OKKE=，

設(shè)OK=x，則S==-，

∴當(dāng)x=時(shí)，S有最大值，最大值為；

②解：當(dāng)EM⊥OF時(shí)，平行四邊形EOMF為菱形，OE的取值范圍為＜OE＜3，

設(shè)OK=a，OL=b，

由（1）得，KE=，ML=，

由OE=OM得a2+[]2=b2+[]2．

設(shè)y=x2+[]2=x2-x+9，

則當(dāng)x1=a，x2=b時(shí)，函數(shù)y的值相等．

函數(shù)y的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=，

即=，

解得a+b=，即OK+OL=．

故答案為，．