Question

閱讀并解答問題．
如圖，已知：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC＞2AD．
證明：延長AD至E使得DE=AD，連接EC，則AE=2AD
∵AD為△ABC的中線
∴BD=CD
在△ABD和△CED中

(     ) (     ) (     )

，
∴△ABD≌△CED
∴AB=EC
在△ACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系有
AC+EC

 

AE
而AB=EC，AE=2AD
∴AB+AC＞2AD
這種輔助線方法，我們稱為“倍長中線法”，請(qǐng)利用這種方法解決以下問題：
（1）如圖，已知：CD為Rt△ABC的中線，∠ACB=90°，求證：CD=

1

2

AB；
（2）把（1）中的結(jié)論用簡潔的語言描述出來．

Answer 1

分析：（1）延長CD至E使DE=CD，連接EB，AE．先證△ADC≌△BDE，得AC=BE，四邊形ACBE是平行四邊形，進(jìn)而得出平行四邊形ACBE是矩形，得AB=CE=2CD；
（2）根據(jù)證明的結(jié)論得出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

解答：解：（1）證明：延長CD至E使DE=CD，連接EB，AE．
∵CD為Rt△ABC的中線，
∴AD=CD，
∵CD=DE，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC≌△EDB，
∴∠ACD=∠DEB，AC=BE，
∴AC∥BE，
∴四邊形ACBE是平行四邊形，
又∵∠ACB=90°，
∴平行四邊形ACBE是矩形，
∴AB=CE，CD=DE=AD=BD，
∴CD=

1

2

AB；

（2）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出AB=CE利用矩形性質(zhì)得出是解決問題的關(guān)鍵．