Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線 分別交x軸、y軸于A、B兩點．

（1）求A、B兩點的坐標；
（2）設P是直線AB上一動點（點P與點A不重合），⊙P始終和x軸相切，和直線AB相交于C、D兩點（點C的橫坐標小于點D的橫坐標）．若P點的橫坐標為m，試用含有m的代數(shù)式表示點C的橫坐標；
（3）在（2）的條件下，若點C在線段AB上，當△BOC為等腰三角形時求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）當x=0時，y=4；當y=0時，- x+4=0，x=3．

∴A（3，0），B（0，4）．

（2）解：設點C的橫坐標為n．由（1）知AB= =5，

∴sin∠OBA= ．

過C作CE⊥x軸于E，過P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，

則∠FCP=∠OBA，PF=m-n．

①當m＜3時，∵PC=PG=- m+4，

∴PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，

∴m-n=（- m+4）× ．

解得n= m-

②當m＞3時，PC=PG= m-4，PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，

∴m-n=（ m-4）× ．

解得n= m+

（3）解：當點C在線段AB上時，由（2）知，C點的橫坐標n= m- ，

以下兩種情況△BOC為等腰三角形．

①當CB=CO時，

∵△OBA是直角三角形，∠BOA=90度．

∴此時C為AB的中點，

∴C點的橫坐標為 ．

∴ m- = ，解得m= ．

②當CB=OB時，

∵AB=5，

∴AC=AB-CB=1，

∴AE=ACcos∠OAB= ．

∵OE+AE=OA，

∴ m- + =3，解得m= ．

③當OC=OB時，因為OB＞OA，所以C在線段BA的延長線上，即在線段AB上不存在點C，使OC=OB。

所以，當m= 或m= 時，△BOC為等腰三角形．

【解析】（1）根據(jù)題意分別求出當x=0時和當y=0時，對應的函數(shù)值和自變量的值，即可求得點A、B的坐標。
（2）設點C的橫坐標為n．利用勾股定理求出AB的長，過C作CE⊥x軸于E，過P作PG⊥x軸于G，PF⊥CE于F，證得∠FCP=∠OBA，PF=m-n．分兩種情況：①當m＜3時；②當m＞3時，得出PC=PG，再分別根據(jù)PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA；PF=PCsin∠FCP=PCsin∠OBA，得出關于m、n的關系式，即可求出n的值。
（3）分三種情況：①當CB=CO時，根據(jù)點C的橫坐標建立方程，求出m的值；②當CB=OB時，根據(jù)OE+AE=OA，建立關于m的方程，求解即可。
③在線段AB上不存在點C，使OC=OB。
【考點精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)定理是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．