Question

（本小題滿分10分）

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M =∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

⑴求證：ME = MF．

⑵如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關(guān)系，并加以證明．

⑶如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB = mBC，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關(guān)系，并說明理由．

⑷根據(jù)前面的探索和圖4，你能否將本題推廣到一般的平行四邊形情況？若能，寫出推廣命題；若不能，請說明理由．

 

Answer 1

（1）證明：過點Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，連接ＡＭ

∵Ｍ是正方形ＡＢＣＤ的對稱中心，∴Ｍ是正方形ＡＢＣＤ對角線的交點，

∴ＡＭ平分∠ＢＡＤ，∴ＭＨ＝ＭＧ

在正方形ＡＢＣＤ中，∠Ａ=90°，∵∠MHA=∠MGA=90°∴∠ＨＭＧ=90°，

在正方形ＱＭＮＰ，∠ＥＭＦ=90°∴∠EMF=∠HMG.∴∠EMH=∠FMG，∵∠MHE=∠MGF，

∴△MHE≌△MGF，∴ME=MF.---------3分

(2) ME=MF。證明：過點M作MH⊥AＢ于H，MG⊥AＤ于G，連接AM，

∵M是菱形ABCD的對稱中心，∴M是菱形ABCD對角線的交點，∴AM平分∠BAD，∴MH=MG，∵BC∥AD，∴∠B+∠BAD=180°，∵∠M=∠B，∴∠M+∠BAD=180°

又∠MHA=∠MGF=90°，在四邊形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，∴∠EMF=∠HMG.

∴∠EMH=∠FMG,∵∠MHE=∠MGF,∴△MHE≌△MGF,∴ME=MF。----------6分

（3）ME=mMF.證明：過點Ｍ作ＭＨ⊥ＡＢ于Ｈ，ＭＧ⊥ＡＤ于Ｇ，

在矩形ABCD中，∠Ａ＝∠Ｂ=90°∴∠EＭF＝∠Ｂ=90°，

又∵∠ＭＨＡ＝∠ＭＧＡ＝９０°，在四邊形HMGA中，∴∠ＨＭＧ＝９０°，

∴∠ＥＭＦ＝∠ＨＭＧ，∴∠ＥＭＨ＝∠ＦＭＧ．∵∠ＭＨＥ＝∠ＭＧＦ，

∴△ＭＨＥ∽△ＭＧＦ，∴，

又∵Ｍ是矩形ＡＢＣＤ的對稱中心，∴M是矩形ＡＢＣＤ對角線的中點

∴ＭＧ∥ＢＣ，∴ＭＧ＝ＢＣ．同理可得ＭＨ＝ＡＢ，

∵AB = mBC∴ＭＥ＝ｍＭＦ。-----------------9分

（４）平行四邊形ＡＢＣＤ和平行四邊形ＱＭＮＰ中，∠Ｍ＝∠Ｂ，ＡＢ＝ｍＢＤ，

Ｍ是平行四邊形ＡＢＣＤ的對稱中心，ＭＮ交ＡＢ于Ｆ，ＡＤ交ＱＭ于Ｅ。

則ＭＥ＝ｍＭＦ．--------------10分

解析:略