Question

【題目】如圖，已知直線y=kx+6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第三象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）存在．P（，）．

（3）Q點坐標為（0，）或（0，-）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

試題分析：（1）由待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

（2）先確定出點C坐標，再由△POB≌△POC建立方程，求解即可，

（3）分三種情況計算，分別判斷△DAQ1∽△DOB，△BOQ2∽△DOB，△BOQ3∽△Q3EA，列出比例式建立方程求解即可．

試題解析：（1）把A（1，4）代入y=kx+6，

∴k=﹣2，

∴y=﹣2x+6，

由y=﹣2x+6=0，得x=3

∴B（3，0）．

∵A為頂點

∴設拋物線的解析為y=a（x﹣1）2+4，

∴a=﹣1，

∴y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3

（2）存在．

當x=0時y=﹣x2+2x+3=3，

∴C（0，3）

∵OB=OC=3，OP=OP，

∴當∠POB=∠POC時，△POB≌△POC，

作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

∴∠POM=∠PON=45°．

∴PM=PN

∴設P（m，m），則m=﹣m2+2m+3，

∴m=，

∵點P在第三象限，

∴P（，）．

（3）①如圖，當∠Q1AB=90°時，作AE⊥y軸于E，

∴E（0，4）

∵∠DA Q1=∠DOB=90°，∠AD Q1=∠BDO

∴△DAQ1∽△DOB，

∴，

∴DQ1=，

∴OQ1=，

∴Q1（0,）；

②如圖，

當∠Q2BA=90°時，∠DBO+∠OBQ2=∠OBQ2+∠O Q2B=90°

∴∠DBO=∠O Q2B

∵∠DOB=∠B O Q2=90°

∴△BOQ2∽△DOB，

∴，

∴，

∴OQ2=，

∴Q2（0，-）；

③如圖，當∠AQ3B=90°時，∠AEQ3=∠BOQ3=90°，

∴∠AQ3E+∠E AQ3=∠AQ3E+∠B Q3O=90°

∴∠E AQ3=∠B Q3O

∴△BOQ3∽△Q3EA，

∴，，

∴OQ32﹣4OQ3+3=0，

∴OQ3=1或3，

∴Q3（0，1）或（0，3）．

綜上，Q點坐標為（0，）或（0，-）或（0，1）或（0，3）．