Question

如圖，過A（8，0）、B（0，8

3

）兩點(diǎn)的直線與直線y=

3

x交于點(diǎn)C、平行于y軸的直線l從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸向右平移，到C點(diǎn)時(shí)停止；l分別交線段BC、OC于點(diǎn)D、E，以DE為邊向左側(cè)作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△BCO重疊部分的面積為S（平方單位），直線l的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）直接寫出C點(diǎn)坐標(biāo)和t的取值范圍；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)P，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、O、F為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）要求C點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)先根據(jù)題意得出直線AB的方程，再與y=

3

聯(lián)立，得出的交點(diǎn)的坐標(biāo)即為C點(diǎn)的坐標(biāo)．而t的取值范圍的最大值只要用C點(diǎn)橫坐標(biāo)除以1即可．
（2）解此題時(shí)可設(shè)D、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，再根據(jù)l與AB、y=

3

兩條直線相交即可得出D、E關(guān)于t的坐標(biāo)．再根據(jù)等邊三角形各個(gè)角均為60°，做DE邊上的高，運(yùn)用勾股定理即可得出高的長度（關(guān)于t）．再分別討論t的取值，畫出圖形，代入各自對(duì)應(yīng)的面積公式，化簡后即可得出S關(guān)于t的方程．
（3）要使△FOP為等腰三角形，則腰只能是OF、FP，由此只要設(shè)出P、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的坐標(biāo)公式，得出關(guān)于t的代數(shù)式，令OF=FP，結(jié)合t的取值，即可得出答案．

解答：解：（1）設(shè)AB的解析式為y=kx+b，
把A（8，0）、B（0，8

3

）分別代入解析式得，

8k+b=0 b=8 3

，
解得k=-

3

，
則函數(shù)解析式為y=-

3

x+8

3

．
將y=-

3

x+8

3

和y=

3

x組成方程組得，

y=- 3 x+8 3 y= 3 x

，
解得

x=4 y=4 3

．
故得C（4，4

3

），
∴t的取值范圍是：0≤t≤4；

（2）作EM⊥y軸于M，DG⊥y軸于點(diǎn)G，
∵D點(diǎn)的坐標(biāo)是（t，-

3

t+8

3

），E的坐標(biāo)是（t，

3

t）
∴DE=-

3

t+8

3

-

3

t=8

3

-2

3

t；
∴等邊△DEF的DE邊上的高為：

3

2

DE=12-3t；
根據(jù)E點(diǎn)的坐標(biāo)（t，

3

t），以及∠MNE=60°，
故ME=t，MN=tan30°ME=

3

3

t，
同理可得：GH=

3

3

t，
∴可求梯形上底為：8

3

-2

3

t-

2 3

3

t，
∴當(dāng)點(diǎn)F在BO邊上時(shí)：12-3t=t，
∴t=3，
當(dāng)0≤t＜3時(shí)，重疊部分為等腰梯形，可求梯形面積為：
S=

t

2

(8

3

-2

3

t+8

3

-2

3

t-

2 3

3

t)
=

t

2

(16

3

-

14

3

3

t)
=-

7

3

3

t2+8

3

t；
當(dāng)3≤t≤4時(shí)，重疊部分為等邊三角形
S=

1

2

(8

3

-2

3

t)(12-3t)
=3

3

t2-24

3

t+48

3

；

（3）存在，P（

24

7

，0）；
說明：∵FO≥4

3

，F(xiàn)P≥4

3

，OP≤4，△DEF是等邊三角形，
∴以P，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，腰只有可能是FO，F(xiàn)P，
若FO=FP時(shí)，t=2（12-3t），
解得：t=

24

7

，
∴P（

24

7

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及規(guī)則圖形的面積計(jì)算．在解本題時(shí)要注意討論t的取值范圍．