Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是矩形，對角線AC的垂直平分線交AD于點E，交BC于點F，連接AF，CE，解答下列問題：
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）記AB=a，BF=b，若a，b是方程x2﹣2（m+1）x+m2+1=0的兩根，問當m為何值時，菱形AECF的周長為8 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF垂直平分AC，

∴AO=CO，F(xiàn)E⊥AC，

在△AOE和△COF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴EO=FO，

∴四邊形AFCE為平行四邊形，

又∵FE⊥AC，

∴平行四邊形AECF為菱形

（2）解：在△ABF中，∵∠ABF=90°，

∴AB2+BF2=AF2，

∴AF2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab，

由根與系數(shù)的關系得：a+b=2（m+1），ab=m2+1，

∴AF2=[2（m+1）]2﹣2（m2+1）=2m2+8m+2，

∵菱形AECF的周長為8 ，

∴AF=2 ，

∴2m2+8m+2=（2 ）2，

解得：m=1或m=﹣5，

∵原方程有實數(shù)根，則△≥0，

∴[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+1）≥0，

∴m=﹣5不合題意，舍去，

∴m=1，

即當m=1時，菱形AECF的周長為8

【解析】（1）由ASA證明△AOE≌△COF，得出對應邊相等EO=FO，證出四邊形AFCE為平行四邊形，再由FE⊥AC，即可得出結(jié)論．（2）由勾股定理和根與系數(shù)的關系得出方程，解方程求出m=1或m=﹣5，再由根的判別式即可得出m的值．
【考點精析】通過靈活運用根與系數(shù)的關系和線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等即可以解答此題．