Question

（2011•宜州市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為1的正方形OA₁B₁C的對(duì)角線A₁C和OB₁交于點(diǎn)M₁，以M₁A₁為對(duì)角線作第二個(gè)正方形A₂A₁B₂M₁，對(duì)角線A₁M₁和A₂B₂交于點(diǎn)M₂；以M₂A₁為對(duì)角線作第三個(gè)正方形A₃A₁B₃M₂，對(duì)角線A₁M₂和A₃B₃交于點(diǎn)M₃；…依此類(lèi)推，這樣作的第n個(gè)正方形對(duì)角線交點(diǎn)M_n的坐標(biāo)為（　�。�

• A．(

  2n-1

  2n

  ，

  1

  2n

  )
• B．(1+

  1

  2n

  ，

  1

  2n

  )
• C．(

  2n+1

  2n

  ，

  1

  2n

  )
• D．(

  1

  2n

  ，

  2n-1

  2n

  )

Answer 1

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，設(shè)OM₁=M₁A₁=x，由勾股定理得到方程x²+x²=1²，解方程求出x的值，同理可以求出其它正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而得到M₁的坐標(biāo)，M₂的坐標(biāo)，…，依此類(lèi)推可求出第n個(gè)正方形對(duì)角線交點(diǎn)M_n的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，
則正方形四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為O（0，0），C（0，1），B₁（1，1），A₁（1，0），
在正方形OA₁B₁C中，
∴OM₁=M₁A₁，∠OM₁A₁=90°，
設(shè)OM₁=M₁A₁=x，
由勾股定理得：x²+x²=1²，
解得：x=

2

2

，
同理可求出OA₂=A₂M₁=

1

2

，A₂M₂=

2

4

，A₂A₃=

1

4

，…，
根據(jù)正方形對(duì)角線定理得M₁的坐標(biāo)為（ 1-

1

2

，

1

2

）；
同理得M₂的坐標(biāo)為（ 1-

1

22

，

1

22

）；
M₃的坐標(biāo)為（ 1-

1

23

，

1

23

），
…，
依此類(lèi)推：M_n坐標(biāo)為（ 1-

1

2n

，

1

2n

）=（

2n-1

2n

，

1

2n

）．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能根據(jù)求出的數(shù)據(jù)得到規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．