Question

（2013•東城區(qū)二模）定義：P，Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段a與線段b的距離．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐標系中的四點．
（1）根據(jù)上述定義，當(dāng)m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是

2

；
當(dāng)m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離是

5

．
（2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，求線段BC與線段OA的距離d．
（3）當(dāng)m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，若線段BC的中點為M，直接寫出點M隨線段BC運動所形成的圖形的周長

16+4π

．

Answer 1

分析：（1）m=2時，線段OA與線段BC間的距離即為兩線段的距離；m=5時，過點B作BD⊥x軸于D，求出AD的長，然后利用勾股定理列式求出AB，即為線段OA與線段BC的距離；
（2）先確定出2≤m≤6，再分2≤m≤4時，d等于兩平行線間的距離，（或過點B作BE⊥OA于E，求出AE的長，再利用勾股定理列式求出BE的長，即為兩線段的距離）；4≤m≤6，d等于點B與點A的距離，即為⊙A的半徑；
（3）根據(jù)線段與線段的距離的定義畫出圖形，可得點M形成的圖形是兩條線段和兩個半圓，再分別求解即可．

解答：解：（1）當(dāng)m=2，n=2時，線段BC與線段OA的距離等于平行線間的距離，即為2；
當(dāng)m=5，n=2時，B點坐標為（5，2），線段BC與線段OA的距離，即為線段AB的長，
如圖，

過點B作BD⊥x軸于點D，則AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=

AD2+BD2

=

12+22

=

5

；

（2）如圖，

當(dāng)點B落在⊙A上時，m的取值范圍為2≤m≤6：
①當(dāng)2≤m＜4時，d=|n|（-2≤n≤2），
或：過點B作BE⊥x軸于點E，線段BC與線段OA的距離等于BE長，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，d=

AB2-AE2

=

22-(4-m)2

=

-m2+8m-12

；
②當(dāng)4≤m≤6，顯然線段BC與線段OA的距離等于⊙A半徑，即d=2；
 
（3）根據(jù)題意畫出圖形，點M形成的圖形為圖中紅線表示的封閉圖形，

由圖可見，封閉圖形由上下兩段長度為8的線段，以及左右兩側(cè)半徑為2的半圓所組成，
其周長為：2×8+2×π×2=16+4π，
∴點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長為：16+4π．
故答案為：（1）2，

5

；（2）當(dāng)2≤m≤4時，d=|n|（-2≤n≤2）或

-m2+8m-12

；當(dāng)4≤m≤6時，d=2；（3）16+4π．

點評：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了勾股定理，讀懂題目信息，理解線段與線段的距離的定義是解題的關(guān)鍵，（3）根據(jù)動線段BC與線段OA的距離始終為2畫出點M形成的圖形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．