Question

有一個(gè)定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c 為系數(shù)且為常數(shù)）的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-

b

a

、x1•x₂=

c

a

，這個(gè)定理叫做韋達(dá)定理．如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的兩個(gè)根，則x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1．
若x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)根．試求：
（1）x₁+x₂與x₁•x₂的值（用含有m的代數(shù)式表示）．
（2）x₁²+x₂²的值（用含有m的代數(shù)式表示）．
（3）若（x₁-x₂）²=2，試求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=-

b

a

、x₁•x₂=

c

a

，得出即可；
（2）化成含有x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入求出即可；
（3）化成含有x₁+x₂和x₁•x₂的形式，代入求出，再代入由根的判別式得出的不等式，看看是否滿(mǎn)足不等式，即可得出答案．

解答：（1）解：∵x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=-

m

2

，x₁•x₂=

-2m+1

2

；

（2）解：∵x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=-

m

2

，x₁•x₂=

-2m+1

2

，
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x₁•x₂
=(-

m

2

)2-2×

-2m+1

2

=

1

4

m²+2m-1；

（3）解：∵x₁、x₂是方程2x²+mx-2m+1=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=-

m

2

，x₁•x₂=

-2m+1

2

；
∵（x₁-x₂）²=2，
∴(x1+x2)2-4x₁•x₂=2，
∴(-

m

2

)2-4×

-2m+1

2

=2，
解得：m=-8+4

5

，m=-8-4

5

，
∵b²-4ac=m²-4×2×（-2m+1）≥0，
m²+16m-8≥0，
把m=-8+4

5

，m=-8-4

5

，代入上式不等式都成立，
即m的值是-8+4

5

或-8-4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，題目比較好，難度適中．