Question

如圖，已知△ABC的面積為5，點(diǎn)M在AB邊上移動(dòng)（點(diǎn)M與點(diǎn)A、B不重合），MN∥BC，MN交AC于點(diǎn)N，連接BN．設(shè)

AM

AB

=x，S_△MBN=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）點(diǎn)E、F分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，設(shè)△MBN與△EBF的公共部分的面積為S，試用含x的代數(shù)式表示S；
（3）當(dāng)?shù)冢?）問中的S=

1

5

時(shí)，試確定x的值．（不必寫出解題過程）

Answer 1

分析：（1）由MN∥BC可知△AMN∽△ABC，得到S_△AMN：S_△ABC=（

AM

AB

）²，即S_△AMN：5=x²，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S_△MBN=-5x²+5x，即y=-5x²+5x（0＜x＜1）；
（2）根據(jù)FE∥BC∥MN可知，
①當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△MBN相似，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S=

5x

4-4x

；
②當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△EBF相似，利用相似的面積比等于相似比的平方可求得S=5（1-x）²；
（3）當(dāng)S=

1

5

時(shí)，x=

4

29

或x=

4

5

．

解答：解：（1）∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC
∴S_△AMN：S_△ABC=（

AM

AB

）²，
即S_△AMN：5=x²，
∵S_△MBN：S_△AMN=

1

x

-1，
∴S_△MBN=-5x²+5x
∴y=-5x²+5x（0＜x＜1）；

（2）∵E、F分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴FE∥BC∥MN，
①當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△MBN相似，
∴y：S=4（1-x）²，∴S=

5x

4-4x

，
②當(dāng)

1

2

＜x＜1時(shí)，△MBN與△EBF的公共部分的三角形與△EBF相似，
∴S：S_△BEF=4（1-x）²，
∵S_△BEF=

5

4

，
∴S=5（1-x）²；

（3）當(dāng)S=

1

5

時(shí)，x=

4

29

或x=

4

5

．

點(diǎn)評：主要考查了相似三角形的性質(zhì)和根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，其中涉及到直接開平方法解一元二次方程的方法；要會(huì)根據(jù)幾何圖形之間的關(guān)系列一元二次方程，利用相似三角形的相似比是解題的關(guān)鍵．