【題目】在平面直角坐標(biāo)中,△ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(﹣,0)、B(,0)、C(0,3).
(1)求△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑.
(2)過點(diǎn)E(0,﹣1)的直線與⊙D相切于點(diǎn)F(點(diǎn)F在第一象限),求直線EF的解析式.
(3)以(2)為條件,P為直線EF上一點(diǎn),以P為圓心,以2為半徑作⊙P.若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,求此時(shí)圓心P的坐標(biāo).
【答案】(1)1;(2)y=x﹣1;(3)若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為(2,5)或(﹣,﹣4).
【解析】
試題分析:(1)由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知∠CBO=60°,又因?yàn)辄c(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心,所以BD平分∠CBO,然后利用銳角三角函數(shù)即可求出OD的長度;
(2)根據(jù)題意可知,DF為半徑,且∠DFE=90°,過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G,求得FG和OG的長度,即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo),然后將E和F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中,即可求出直線EF的解析式;(3)⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,該點(diǎn)是△ABC的外接圓圓心,即為點(diǎn)D,所以DP=2,又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線EF上,所以這樣的點(diǎn)P共有2個(gè),且由勾股定理可知PF=3.
試題解析:(1)連接BD,
∵B(,0),C(0,3),
∴OB=,OC=3,
∴tan∠CBO==,
∴∠CBO=60°
∵點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心,
∴BD平分∠CBO,
∴∠DBO=30°,
∴tan∠DBO=,
∴OD=1,
∴△ABC內(nèi)切圓⊙D的半徑為1;
(2)連接DF,
過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G,
∵E(0,﹣1)
∴OE=1,DE=2,
∵直線EF與⊙D相切,
∴∠DFE=90°,DF=1,
∴sin∠DEF=,
∴∠DEF=30°,
∴∠GDF=60°,
∴在Rt△DGF中,
∠DFG=30°,
∴DG=,
由勾股定理可求得:GF=,
∴F(,),
設(shè)直線EF的解析式為:y=kx+b,
∴,
∴直線EF的解析式為:y=x﹣1;
(3)∵⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,
∴該點(diǎn)必為△ABC外接圓的圓心,
由(1)可知:△ABC是等邊三角形,
∴△ABC外接圓的圓心為點(diǎn)D
∴DP=2,
設(shè)直線EF與x軸交于點(diǎn)H,
∴令y=0代入y=x﹣1,
∴x=,
∴H(,0),
∴FH=,
當(dāng)P在x軸上方時(shí),
過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸于M,
由勾股定理可求得:P1F=3,
∴P1H=P1F+FH=,
∵∠DEF=∠HP1M=30°,
∴HM=P1H=,P1M=5,
∴OM=2,
∴P1(2,5),
當(dāng)P在x軸下方時(shí),
過點(diǎn)P2作P2N⊥x軸于點(diǎn)N,
由勾股定理可求得:P2F=3,
∴P2H=P2F﹣FH=,
∴∠DEF=30°
∴∠OHE=60°
∴sin∠OHE=,
∴P2N=4,
令y=﹣4代入y=x﹣1,
∴x=﹣,
∴P2(﹣,﹣4),
綜上所述,若⊙P上存在一點(diǎn)到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,此時(shí)圓心P的坐標(biāo)為(2,5)或(﹣,﹣4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有以下兩個(gè)結(jié)論:
① 任何一個(gè)有理數(shù)和它的相反數(shù)之間至少有一個(gè)有理數(shù);
② 如果一個(gè)有理數(shù)有倒數(shù),則這個(gè)有理數(shù)與它的倒數(shù)之間至少有一個(gè)有理數(shù)。
則( )
A. ①,②都不對; B. ①對,②不對; C. ①,②都對; D. ①不對,②對;
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A. a=0,b=0 B. a=0,b=-6 C. a=0,b=4 D. a=5,b=-1
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A.(-a-b)(-b+a)
B.(xy+z)(xy-z)
C.(-2a-b)(2a+b)
D.(0.5x-y)(-y-0.5x)
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【題目】把一元二次方程x2﹣6x+1=0配方成(x+m)2=n的形式,正確的是( 。
A. (x+3)2=10 B. (x﹣3)2=10 C. (x+3)2=8 D. (x﹣3)2=8
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【題目】啟東恒大“海上威尼斯”正在圓陀角風(fēng)景區(qū)全力打造一個(gè)完美的“東方威尼斯”,建成后將媲美九大世界著名海灣景區(qū)。據(jù)福布斯2017年9月19的最新數(shù)據(jù)顯示,恒大集團(tuán)董事局主席許家印以391億美元的身價(jià)成中國新首富,略高于馬化騰和馬云。391億用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 3.91×108 B. 3.91×109 C. 3.91×1010 D. 3.91×1011
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