Question

【題目】已知反比例函數(shù)的圖象與直線相交于第一象限、的兩點．如圖所示，過、兩點分別作、軸的垂線，線段、相交與，給出以下結論：①；②四邊形是正方形；③若．則的面積是；④點一定在直線上，其中正確命題的個數(shù)是幾個（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①先求出直線與兩坐標軸的交點坐標可得出△OEF是等腰直角三角形，故E、F兩點關于直線y=x對稱，再由反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱可知A、B兩點關于直線y=x對稱，故可得出y=x是線段AB的垂直平分線，由此即可得出結論；
②根據(jù)AM⊥y軸，BD⊥y軸，AC⊥x軸，BN⊥x軸可得出四邊形ACOM與四邊形BDON均是長方形，根據(jù)OA=OB可知AC=BD，故OC=OD，由此可得出結論；
③設，則B，P（x，x），再由點A在直線y=-x+6上，求出x的值即可得出A點坐標，再由三角形的面積公式求解即可；
④根據(jù)點A、B關于直線y=x對稱可知，OM=ON，再由AM⊥y軸，AC⊥x軸，BD⊥y軸，BN⊥x軸可知，四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形，由②知AM=BN，故OC=OD，所以AP=PB，所以點P在線段AB的垂直平分線上，所以點P在直線y=x上．

①∵令x=0，則y=6，令y=0，則x=6，

∴E(0,6),F(6,0)，

∴E、F兩點關于直線y=x對稱，

∵反比例函數(shù)的圖象關于直線y=x對稱，

∴A、B兩點關于直線y=x對稱，

∴y=x是線段AB的垂直平分線，

∴OA=OB，故①正確；

②∵AM⊥y軸，BD⊥y軸，AC⊥x軸，BN⊥x軸，

∴四邊形ACOM與四邊形BDON均是長方形。

∵OA=OB，A.B兩點關于直線y=x對稱，

∴AC=BD，

∴OC=OD，

∴四邊形OCPD是正方形，故②正確；

③設，則B，,P(x,x)，

∵點A在直線y=x+6上，

∴解得

∴A(1,5),B(5,1)，

∴BP=AP=51=4，

∴故③正確；

④∵點A.B關于直線y=x對稱，

∴OM=ON，

∵AM⊥y軸，AC⊥x軸，BD⊥y軸，BN⊥x軸，

∴四邊形AMOC與四邊形BDON均是矩形，

∵由②知AM=BN，

∴OC=OD，

∴AP=PB，

∴點P在線段AB的垂直平分線上，

∴點P在直線y=x上，故④正確.

故選：A.