【題目】已知正方形ABCD,P為射線AB上的一點,以BP為邊作正方形BPEF,使點F在線段CB的延長線上,連接EA、EC.
(1)如圖1,若點P在線段AB的延長線上,求證:EA=EC;
(2)若點P在線段AB上.
①如圖2,連接AC,當P為AB的中點時,判斷△ACE的形狀,并說明理由;
②如圖3,設AB=a,BP=b,當EP平分∠AEC時,求a:b及∠AEC的度數(shù).
【答案】(1)詳見解析;(2)△ACE為直角三角形,理由見解析;(3)∠AEC=45°.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理易證△APE≌△CFE,由全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論;(2)①根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)即可判定△ACE為直角三角形;②根據(jù)PE∥CF,得到,代入a、b的值計算求出a:b,根據(jù)角平分線的判定定理得到∠HCG=∠BCG,證明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC的度數(shù).
試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AC
∵四邊形BPEF為正方形
∴∠P=∠F=90°,PE=EF=FB=BP
∵AP=AB+BP,CF=BC+BF
∴CF=AP
在△APE和△CFE中:EP="EF," ∠P="∠F=90°," AP= CF
∴△APE≌△CFE
∴EA=EC
(2)①∵P為AB的中點,
∴PA=PB,又PB=PE,
∴PA=PE,
∴∠PAE=45°,又∠DAC=45°,
∴∠CAE=90°,即△ACE是直角三角形;
②∵EP平分∠AEC,EP⊥AG,
∴AP=PG=a﹣b,BG=a﹣(2a﹣2b)=2b﹣a
∵PE∥CF,
∴,即,
解得,a=b;
作GH⊥AC于H,
∵∠CAB=45°,
∴HG=AG=×(2b﹣2b)=(2﹣)b,又BG=2b﹣a=(2﹣)b,
∴GH=GB,GH⊥AC,GB⊥BC,
∴∠HCG=∠BCG,
∵PE∥CF,
∴∠PEG=∠BCG,
∴∠AEC=∠ACB=45°.
∴a:b=:1;∴∠AEC=45°.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AD=acm,AB=bcm(a>b>4),半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切,現(xiàn)有動點P從A點出發(fā),在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動,當點P到達D點時停止移動.⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移,移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回,當⊙O回到出發(fā)時的位置(即再次與AB相切)時停止移動,已知點P與⊙O同時開始移動,同時停止移動(即同時到達各自的終止位置).
(1)如圖①,點P從A→B→C→D,全程共移動了 cm(用含a、b的代數(shù)式表示);
(2)如圖①,已知點P從A點出發(fā),移動2s到達B點,繼續(xù)移動3s,到達BC的中點,若點P與⊙O的移動速度相等,求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離;
(3)如圖②,已知a=20,b=10,是否存在如下情形:當⊙O到達⊙O1的位置時(此時圓心O1在矩形對角線BD上),DP與⊙O1恰好相切?請說明理由.
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【題目】如圖,∠AGF=∠ABC,∠1+∠2=180°,
(1)求證;BF∥DE.
(2)如果DE⊥AC于點E,∠2=150°,求∠AFG的度數(shù).
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【題目】對于命題“如果∠1+∠2=90°,那么∠1≠∠2”,說明它是假命題的反例可以是( )
A.∠1=50°,∠2=40°
B.∠1=50°,∠2=50°
C.∠1=40°,∠2=40°
D.∠1=∠2=45°
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【題目】如圖,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,則圖中等腰三角形的個數(shù)( ).
A.1個 B.3個 C.4個 D.5個
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【題目】如圖,某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊,現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是( ).
A.帶①去 B.帶②去 C.帶③去 D.帶①和②去
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【題目】在下列四組條件中,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A. AB=DE,BC= EF,∠A=∠D B. ∠A=∠D,∠C=∠F,AC= DE
C. ∠A=∠E,∠B=∠F,∠C=∠D D. AB=DE,BC= EF,△ABC的周長等于△DEF的周長
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