Question

【題目】如圖①，二次函數(shù)y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中b＜﹣1）的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C（0，1），過點C的直線交x軸于點D（2，0），交拋物線于另一點E．

（1）用b的代數(shù)式表示a，則a=；
（2）過點A作直線CD的垂線AH，垂足為點H．若點H恰好在拋物線的對稱軸上，求該二次函數(shù)的表達式；
（3）如圖②，在（2）的條件下，點P是x軸負半軸上的一個動點，OP=m．在點P左側的x軸上取點F，使PF=1．過點P作PQ⊥x軸，交線段CE于點Q，延長線段PQ到點G，連接EG、DG．若tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，試判斷是否存在m的值，使△FPQ的面積和△EGQ的面積相等？若存在求出m的值，若不存在則說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中b＜﹣1），C（0，1），
∴﹣ab=1，
∴a=﹣ ；
故答案為：﹣
（2）

解：作HM⊥AD于M，如圖1所示：

對稱軸x=﹣ =﹣ = ，

設直線CD解析式為：y=kx+n，

∵C（0，1），D（2，0），

∴ ，

解得： ，

∴直線CD解析式為：y=﹣ +1，

H在對稱軸上，將x= 代入y=﹣ +1，

y=﹣ +1= ，

∴H（ ， ），

由ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab=0，則（ax+a）（x﹣b）=0，

∴x1=﹣1，x2=b，

∵b＜﹣1，

∴A（b，0），

HM= ，

AM=xM﹣xA= ﹣b=﹣ ，

DM=xD﹣xM=2﹣ = ，

由射影定理得：HM2=AMDM，

即（ ）2=﹣ ，

解得：b=﹣3，

∵a=﹣ ，

∴a= ，

∴y= x2﹣ （﹣3﹣1）x+1= x2+ x+1

（3）

解：存在m的值，使△FPQ的面積和△EGQ的面積相等；理由如下：

過點E作EN⊥GQ于點Q，如圖2所示：

∵y= x2+ x+1與y=﹣ +1相交于點E，

∴ ，

解得：x=﹣ ，或x=0（不合題意舍去），y= ，

∴E（﹣ ， ），

∵PO=m，

∴xQ=﹣m，代入y=﹣ x+1得：yQ= m+1，

∵tan∠GDP= = = ，tan∠FQP= ，tan∠QDP= ，

∵tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，

∴ ，

∴ ，

∵PD=m+2，PQ= m+1，PF=1，

∴ ，

解得：QG=2，

∵△FPQ的面積= PFPQ，△EGQ的面積= QGEN，△FPQ的面積和△EGQ的面積相等，EN= ﹣m，

∴ ×1×（ m+1）= ×2×（ ﹣m），

解得：m=4；

∴存在m的值，使△FPQ的面積和△EGQ的面積相等，m=4．

【解析】（1）將C（0，1）代入二次函數(shù)y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中b＜﹣1），得出﹣ab=1，即可得出結果；（2）作HM⊥AD于M，得出對稱軸x=﹣ =﹣ = ，由C、D的坐標求出直線CD解析式為：y=﹣ +1，將x= 代入y=﹣ +1，得出H（ ， ），由ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab=0，求出A（b，0），得出HM，AM，DM，由射影定理得：HM2=AMDM，解得b=﹣3，得出a= ，即可得出二次函數(shù)的表達式；（3）過點E作EN⊥GQ于點Q，由y= x2+ x+1與y=﹣ +1相交于點E，求出E（﹣ ， ），由PO=m，得出xQ=﹣m，yQ= m+1，由tan∠GDP= = ，tan∠FQP= ，tan∠QDP= img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/07/19/20/0a7c1aa9/SYS201707192050383582795064_DA/SYS201707192050383582795064_DA.023.png" width="19" height="32" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" /> ，得出 ，求出QG=2，再由△FPQ的面積= PFPQ，△EGQ的面積= QGEN，由△FPQ的面積和△EGQ的面積相等，得出方程，解方程即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．