Question

（1）如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋．請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；
（2）如圖2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三點(diǎn)共線．試證明∠ACE=90°；
（3）伽菲爾德（Garfield，1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日，發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請(qǐng)你嘗試該證明過程．

Answer 1

分析：（1）用面積分割法證明：大正方形的面積等于小正方形和兩個(gè)長方形的面積之和，從而推出平方和公式．
（2）利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，推出直角；
（3）用面積分割法法證明勾股定理：梯形ABDE的面積=三角形ABC的面積+三角形CDE的面積+三角形ACE的面積．

解答：解：（1）這個(gè)公式為（a+b）²=a²+2ab+b²；
證明：由圖可知大正方形被分成了一個(gè)小正方形和兩個(gè)長方形，
大正方形的面積=（a+b）²，兩個(gè)長方形的面積=（a+b）b+ab，
小正方形的面積=a²，那么大正方形的面積=（a+b）b+ab+a²=（a+b）²=a²+2ab+b²．

（2）∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；
由于B，C，D共線，所以∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=180°-90°=90°．

（3）梯形ABDE的面積為

1

2

（AB+ED）•BD=

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

（a+b）²；
另一方面，梯形ABDE可分成三個(gè)直角三角形，其面積又可以表示成

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²．
所以，

1

2

（a+b）²=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²．
即a²+b²=c²．

點(diǎn)評(píng)：面積法證明代數(shù)恒等式是常用的代數(shù)式變形，采用了數(shù)形結(jié)合的方式，直觀易懂．