Question

如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC邊于點(diǎn)D，在劣弧    上取一點(diǎn)E，并使∠EBC＝∠DEC，延長(zhǎng)BE依次交AC于G，交⊙O于H
小題1:求證：AC⊥BH
小題2:若∠ABC＝45°，⊙O的直徑等于10，BD＝8，求CE的長(zhǎng)

Answer 1

小題1:連接AD，………………………………………1分
∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，
∴∠DAC＝∠EBC，…………………………………2分
又∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，………3分
∴∠EBC＋∠BCG＝∠DAC＋∠DCA＝90°，
        
∴∠BGC＝90°，∴AC⊥BH．……………………5分
小題2:∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝8，……………………6分
又∵AC＝10，∴在Rt△ADC中由勾股定理，得：
，
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14，……………………………7分
又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，
∴△BCG∽△ACD，
∴，∴，………8分
連接AE，∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC∽R(shí)t△EGC，∴，∴，
∴．……………………………………10分

 (1)利用園的直徑對(duì)應(yīng)的園周角為直角，再根據(jù)角的等量代換得出∠BGC＝90°，從而得出AC⊥BH；
（2）先用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，然后利用△BCG∽△ACD求出CG的長(zhǎng)，再利用Rt△AEC∽R(shí)t△EGC求出CE的長(zhǎng)。