Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90⁰，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)DE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．

（1）求證：BD＝BF；

（2）若CF＝1，cosB＝，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，連接OE,

∵AC與⊙O相切于點(diǎn)E，        ∴OE⊥AC，即∠OEC＝90⁰.

∵∠ACB＝90⁰，∴∠OEC＝∠ACB�！郞E∥BC。

∴∠OED＝∠F。

∵OE=OD，∴∠OED＝∠ODE。∴∠F＝∠ODE。

∴BD=BF。

（2）∵cosB＝，∴設(shè)BC=3ｘ，AB=5ｘ。

∵CF=1，∴。

由（1）知，BD=BF，∴�！��！�,。

∵OE∥BF，∴∠AOE＝∠B�！�，即，解得，。

∴⊙O的半徑為。

【解析】

試題分析：（1）由平行線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)推知∠OED=∠F，則易證得結(jié)論。

（2）由cosB＝，設(shè)BC=3ｘ，AB=5ｘ，根據(jù)OE∥BF，得∠AOE＝∠B，從而。因此列出關(guān)于半徑r的方程，通過(guò)解方程即可求得r的值，進(jìn)而得到⊙O的半徑。