Question

（2012•黃石）已知拋物線C₁的函數(shù)解析式為y=ax²+bx-3a（b＜0），若拋物線C₁經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，-3），方程ax²+bx-3a=0的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=4．
（1）求拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知實(shí)數(shù)x＞0，請(qǐng)證明x+

1

x

≥2，并說(shuō)明x為何值時(shí)才會(huì)有x+

1

x

=2．
（3）若將拋物線先向上平移4個(gè)單位，再向左平移1個(gè)單位后得到拋物線C₂，設(shè)A（m，y₁），B（n，y₂）是C₂上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足：∠AOB=90°，m＞0，n＜0．請(qǐng)你用含m的表達(dá)式表示出△AOB的面積S，并求出S的最小值及S取最小值時(shí)一次函數(shù)OA的函數(shù)解析式．
（參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則P，Q兩點(diǎn)間的距離為

(x2-x1)2+(y2-y1)2

）

Answer 1

分析：（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，需要先求出拋物線的解析式，即確定待定系數(shù)a、b的值．已知拋物線圖象與y軸交點(diǎn)，可確定解析式中的常數(shù)項(xiàng)（由此得到a的值）；然后從方程入手求b的值，題干給出了兩根差的絕對(duì)值，將其進(jìn)行適當(dāng)變形（轉(zhuǎn)化為兩根和、兩根積的形式），結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求出b的值．
（2）x•

1

x

=1，因此將x+

1

x

配成完全平方式，然后根據(jù)平方的非負(fù)性即可得證．
（3）結(jié)合（1）的拋物線的解析式以及函數(shù)的平移規(guī)律，可得出拋物線C₂的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可確定m、n的關(guān)系式，然后用m列出△AOB的面積表達(dá)式，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)可確定△OAB的最小面積值以及此時(shí)m的值，進(jìn)而由待定系數(shù)法確定一次函數(shù)OA的解析式．

解答：解：（1）∵拋物線過(guò)（0，-3）點(diǎn)，∴-3a=-3
∴a=1
∴y=x²+bx-3
∵x²+bx-3=0的兩根為x₁，x₂且|x₁-x₂|=4
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=4，且b＜0
∴b=-2
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）．

（2）∵x＞0，∴x+

1

x

-2=（

x

-

1

x

）²≥0
∴x+

1

x

≥2，顯然當(dāng)x=1時(shí)，才有x+

1

x

=2．

（3）由平移知識(shí)易得C₂的解析式為：y=x²
∴A（m，m²），B（n，n²）
∵△AOB為直角三角形，
∴OA²+OB²=AB²
∴m²+m⁴+n²+n⁴=（m-n）²+（m²-n²）²
化簡(jiǎn)得：mn=-1
∴S_△AOB=

1

2

(m+n)2

=

1

2

m2+n2+2mn

=

1

2

2+m2+n2

=

1

2

2+m2+ 1 m2

=

1

2

(m+ 1 m )2

=

1

2

（m+

1

m

）≥

1

2

•2=1
∴S_△AOB的最小值為1，此時(shí)m=1，A（1，1）
∴直線OA的一次函數(shù)解析式為y=x．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、不等式的應(yīng)用等知識(shí)，解題過(guò)程中完全平方式的變形被多次提及，應(yīng)熟練掌握并能靈活應(yīng)用．