Question

如圖，已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，圓O₁過(guò)以O(shè)B為邊長(zhǎng)的正方形OBCD的四個(gè)頂點(diǎn)，兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C運(yùn)動(dòng)后停止，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，AO₁交于y軸于E點(diǎn)，P、Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）
（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是

（0，

2

3

）

；
（2）三角形ABE的面積是

4

3

；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t（秒），使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，請(qǐng)確定t的值和直線PQ所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

Answer 1

分析：（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，2），利用正方形的性質(zhì)可得到O₁的坐標(biāo)為（1，1），然后利用待定系數(shù)法可求出直線O₁A的解析式為y=

1

3

x+

2

3

，再令x=0，則y=

2

3

，即可得到E點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用三角形的面積公式S_△ABE=

1

2

BE•OA計(jì)算即可；
（3）由（1）得到△OAB為等腰直角三角形，則AB=

2

OB=2

2

，由于動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，則有0≤t≤2，此時(shí)點(diǎn)P在AB上，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，利用S_△APQ：S_△ABE=3：4，得到S_△APQ=

3

4

S_△ABE=

3

4

×

4

3

=1，又AP=

2

t，則PF=

2

2

AP=t，而AQ=2t，所以有S_△APQ=

1

2

AQ•PF=

1

2

×2t×t=1，可求出k=1，易得點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），OF=1，可得到點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，1），然后利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的解析式．

解答：解：（1）對(duì)于y=x=2，令x=0，則y=2；令y=0，則x+2=0，解得x=-2
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∵正方形OBCD是OB為邊長(zhǎng)的正方形，
∴O₁的坐標(biāo)為（1，1）
設(shè)直線O₁A的解析式為y=kx+b，
把A（-2，0），O₁（1，1）分別代入得

-2k+b=0 k+b=1

，解得

k= 1 3 b= 2 3

，
∴直線O₁A的解析式為y=

1

3

x+

2

3

，
令x=0，則y=

2

3

，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（0，

2

3

）；
（2）S_△ABE=

1

2

BE•OA=

1

2

×（2-

2

3

）×2=

4

3

；
故答案為（0，

2

3

）；

4

3

；
（3）存在．理由如下：
∵OA=OB=2，AD=4，
∴△OAB為等腰直角三角形，則AB=

2

OB=2

2

，
∵動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P以每秒

2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→B→C運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在線段AD上時(shí)，
∴0≤t≤2，此時(shí)點(diǎn)P在AB上，
過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，如圖，
∵S_△APQ：S_△ABE=3：4，
∴S_△APQ=

3

4

S_△ABE=

3

4

×

4

3

=1，
∵AP=

2

t，
∴PF=

2

2

AP=t，
而AQ=2t，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PF=

1

2

×2t×t=1，
∴t=1，
∴AQ=2t=2×1=2，PF=1，
∵AO=2，
∴點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，0），OF=1，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-1，1）
設(shè)直線PQ的解析式為y=mx，
把P（-1，1）代入得1=-m，即m=-1，
∴直線PQ的解析式是y=-x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于圓的半徑；待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法；熟練掌握正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)．