Question

少年科技組制成一臺單項功能計算器，對任意兩個整數(shù)只能完成求差后再取絕對值的運算，其運算過程是：輸入第一個整數(shù)x₁，只顯示不運算，接著再輸入整數(shù)x₂后則顯示|x₁-x₂|的結(jié)果，此后每輸入一個整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進行求差取絕對值的運算，現(xiàn)小明將從1到1991這一千九百九十一個整數(shù)隨意地一個一個地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為p．試求出p的最大值

1990

，并說明理由．

Answer 1

分析：根據(jù)題意每次輸入都是與前一次運算結(jié)果求差后取絕對值，轉(zhuǎn)化為奇偶性的性質(zhì)然后討論最大值．

解答：解：由于輸入的數(shù)都是非負(fù)數(shù)．當(dāng)x₁≥0，x₂≥0時，|x₁-x₂|不超過x₁，x₂中最大的數(shù)．對x₁≥0，x₂≥0，x₃≥0，則||x₁-x₂|-x₃|不超過x₁，x₂，x₃中最大的數(shù)．小明輸入這1991個數(shù)設(shè)次序是x₁，x₂，，x₁₉₉₁，相當(dāng)于計算：||||x₁-x₂|-x₃|-x₁₉₉₀|-x₁₉₉₁|=P．因此P的值≤1991．
另外從運算奇偶性分析，x₁，x₂為整數(shù)．
|x₁-x₂|與x₁+x₂奇偶性相同．因此P與x₁+x₂++x₁₉₉₁的奇偶性相同．
但x₁+x₂++x₁₉₉₁=1+2+1991=偶數(shù)．于是斷定P≤1990．我們證明P可以取到1990．
對1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．
|||（4k+1）-（4k+3）|（4k+4）|-（4k+2）=|0，對k=0，1，2，均成立．因此，1-1988可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0．而后||1989-1990|-1991|=1990．
所以P的最大值為1990．
故答案為：1990．

點評：本題考查了整數(shù)的奇偶性問題，雖然以計算為載體，但首先要有試驗觀察和分情況討論的能力．