Question

【題目】如圖，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，2)，直線y＝－x＋b(b≠0)與雙曲線y＝在第二、四象限分別相交于P，Q兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)．

(1)求k的值；

(2)當(dāng)b＝－2時，求△OAB的面積，并求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接OQ，是否存在實(shí)數(shù)b使S△OBQ＝S△OAB？若存在，請求出b的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)－4；(2) (－－1， －1) ；(3)存在．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征易得k=-4；
（2）當(dāng)b=-2時，直線解析式為y=-x-2，則利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出C（-2，0），D（0，-2），然后根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）先表示出C（b，0），根據(jù)三角形面積公式，由于S△ODQ=S△OCD，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)C到OD的距離相等，則Q的橫坐標(biāo)為（-b，0），利用直線解析式可得到Q（-b，2b），再根據(jù)反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到-b2b=-4，然后解方程即可得到滿足條件的b的值．

試題解析：（1）∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，4），

∴k=-1×4=-4；
（2）當(dāng)b=-2時，直線解析式為y=-x-2，
∵y=0時，-x-2=0，解得x=-2，
∴C（-2，0），
∵當(dāng)x=0時，y=-x-2=-2，
∴D（0，-2），
∴S△OCD=×2×2=2；
（3）存在．
當(dāng)y=0時，-x+b=0，解得x=b，則C（b，0），
∵S△ODQ=S△OCD，
∴點(diǎn)Q和點(diǎn)C到OD的距離相等，
而Q點(diǎn)在第四象限，
∴Q的橫坐標(biāo)為-b，
當(dāng)x=-b時，y=-x+b=2b，則Q（-b，2b），
∵點(diǎn)Q在反比例函數(shù)y=-的圖象上，
∴-b2b=-4，解得b=-或b=（舍去），
∴b的值為-．