Question

(本小題滿分9分)
已知：△ABC是任意三角形．
⑴如圖1所示，點(diǎn)M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點(diǎn)．求證：∠MPN=∠A．
⑵如圖2所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且，，點(diǎn)P1、P2是邊BC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正確？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．
⑶如圖3所示，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且，，點(diǎn)P1、P2、……、P2009是邊BC的2010等分點(diǎn)，則∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________．

（請(qǐng)直接將該小問(wèn)的答案寫(xiě)在橫線上．）

Answer 1

（1）略
（2）正確
（3）∠A解析:
⑴證明：∵點(diǎn)M、P、N分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，
∴線段MP、PN是△ABC的中位線，
∴MP∥AN，PN∥AM，  1分
∴四邊形AMPN是平行四邊形，    2分
∴∠MPN=∠A.      3分
⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A正確.   4分
如圖所示，連接MN，     5分

∵，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，，
∴MN∥BC，MN=BC，    6分
∵點(diǎn)P1、P2是邊BC的三等分點(diǎn)，
∴MN與BP1平行且相等，MN與P1P2平行且相等，MN與P2C平行且相等，
∴四邊形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四邊形，
∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC，
7分
∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，
∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A.
8分
⑶∠A.     9分