Question

【題目】如圖，已知tan∠EOF=2，點(diǎn)C在射線OF上，OC=12．點(diǎn)M是∠EOF內(nèi)一點(diǎn)，MC⊥OF于點(diǎn)C，MC=4．在射線CF上取一點(diǎn)A，連結(jié)AM并延長(zhǎng)交射線OE于點(diǎn)B，作BD⊥OF于點(diǎn)D．

（1）當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí)，△AMC和△BOD相似；

（2）當(dāng)點(diǎn)M恰好是線段AB中點(diǎn)時(shí)，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；

（3）連結(jié)BC．當(dāng)S△AMC=S△BOC時(shí)，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）直角三角形，理由見解析；（3）18；

【解析】

試題分析：（1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．則兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等及tan∠EOF=2列出關(guān)于AC的方程，解方程即可求出AC的長(zhǎng)度；

（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等及三角形中位線的性質(zhì)求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS證明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO=90°，進(jìn)而得出△ABO為直角三角形；

（3）設(shè)OD=a，根據(jù)tan∠EOF=2得出BD=2a，由三角形的面積公式求出S△AMC=2AC，S△BOC=12a，根據(jù)S△AMC=S△BOC，得到AC=6a．由△AMC∽△ABD，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于a的方程，解方程求出a的值，進(jìn)而得出AC的長(zhǎng)．

解：（1）∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，

∴△AMC和△BOD中，C與D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

∴△AMC和△BOD相似時(shí)分兩種情況：

①當(dāng)△AMC∽△BOD時(shí)，=tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴=2，

解得AC=8；

②當(dāng)△AMC∽△OBD時(shí)，=tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴=2，

解得AC=2．

故當(dāng)AC的長(zhǎng)度為2或8時(shí)，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO為直角三角形．理由如下：

∵MC∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴，∠AMC=∠ABD，

∵M為AB中點(diǎn)，

∴C為AD中點(diǎn)，BD=2MC=8．

∵tan∠EOF=2，

∴OD=4，

∴CD=OC﹣OD=8，

∴AC=CD=8．

在△AMC與△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM=∠DBO，

∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，

∴△ABO為直角三角形；

（3）連結(jié)BC，設(shè)OD=a，則BD=2a．

∵S△AMC=S△BOC，S△AMC=ACMC=2AC，S△BOC=OCBD=12a，

∴2AC=12a，

∴AC=6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴，即，

解得a1=3，a2=﹣（舍去），

∴AC=6×3=18．