【題目】已知:四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O,連接 AC、BD,∠BAD+2ACB=180°

1)如圖 1,求證:點 A 為弧 BD 的中點;

2)如圖 2,點 E 為弦 BD 上一點,延長 BA 至點 F,使得 AF=AB,連接 FE AD 于點 P,過點 P PHAF 于點 HAF=2AH+AP,求證:AH:AB=PE:BE

3)在(2)的條件下,如圖 3,連接 AE,并延長 AE 交⊙O 于點 M,連接 CM,并延長 CM AD 的延長線于點 N,連接 FD,∠MND=MEDDF=12sinACB,MN=,求 AH 的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3

【解析】

1)根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠BAD+BCD=180°,然后結(jié)合已知條件即可證出∠ACB=ACD,從而證出結(jié)論;

2)在HF上取點G,使HG=HA,連接PG、AE,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AP=GP,結(jié)合已知條件可得,GP=GF,結(jié)合三線合一證出EABF,再證出EAPH,根據(jù)平行線分線段成比例定理和等量代換即可得出結(jié)論;

3)連接MBMD,先利用等角對等邊證出MN=MD=,然后證出△BDF為直角三角形,∠BDF=90°,即可得出BF=12,然后證出△AFM∽△DFB,列出比例式即可求出DF,再根據(jù)勾股定理即可求出BD、BM,設(shè)AH=x,再利用相似三角形的判定及性質(zhì)列出比例式即可求出結(jié)論.

解:(1)∵四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O,

∴∠BAD+BCD=180°

∵∠BAD+2ACB=180°

∴∠BCD=2ACB

∴∠ACB=ACD

即點 A 為弧 BD 的中點;

2)在HF上取點G,使HG=HA,連接PG、AE

PHAF

PH垂直平分AG

AP=GP

∴∠PAG=PGA

∴∠ADB=ABD

∴∠PAG=ADB+∠ABD=2ABD

AF=2AH+AP,AF=AHHGGF=2AHGF

AP=GF

GP=GF

∴∠GPF=F

∴∠PGA=GPF+∠F=2F

∴∠ABD=F

EB=EF

AF=AB,

EABF

EAPH

AHAF = PEEF

AH:AB=PE:BE;

3)連接MBMD

MN=MD=

,AB=AF

AB=AD=AF

∴∠ABD=ADB,∠ADF=AFD

∴∠ABD+∠AFD=ADB+∠ADF=BDF

∴△BDF為直角三角形,∠BDF=90°

BF=12

AB=AD=AF=6

由(2)知:∠EAB=90°

∴∠MDB=90°

∴∠MDB+∠BDF=180°

M、DF三點共線

∵∠AFM=DFB,∠FAM=FDB=90°

∴△AFM∽△DFB

解得:DF=-10(不符合實際,舍去)

根據(jù)勾股定理可得BD=

BM=

設(shè)AH=x,由(2)知:AP=AF2AH=62x

由圓的內(nèi)角四邊形的性質(zhì)可得:∠PAH=BMD

∵∠AHP=MDB=90°

∴△AHP∽△MDB

解得:x=

練習(xí)冊系列答案
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小騰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,分別對函數(shù)y1,y2隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小騰的探究過程,請補(bǔ)充完整:

1)按照下表中自變量x 0≤x≤6)的值進(jìn)行取點、畫圖、測量,分別得到了y1,y2x的幾組對應(yīng)值:

x/cm

0

1

2

3

4

5

6

y1/cm

6.0

4.7

3.9

4.1

5.1

6.6

8.4

y2/cm

6.0

5.3

4.7

4.2

3.9

4.1

(說明:補(bǔ)全表格時相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù))

2)在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中,描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(x,y1),(x,y2),并畫出y1,y2的圖象;

3)結(jié)合函數(shù)圖象解決問題:當(dāng)PDB為等腰三角形時,則BP的長度約為   cm;

4)當(dāng)x6時,是否存在x的值使得PDB為等腰三角形   (填或者).

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(2)P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時?四邊形PBCQ的面積為33cm2;

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學(xué)生參與“朗讀”的態(tài)度統(tǒng)計表

類別

人數(shù)

所占百分比

18

20

4

合計

請你根據(jù)以上信息,解答下列問題:

1______,______,并將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;

2)該校有1500名學(xué)生,如果“不參與”的人數(shù)不超過150人時,“朗讀”活動可以順利開展,通過計算分析這次活動能否順利開展?

3)“朗讀”活動中,九年級一班比較優(yōu)秀的四名同學(xué)恰好是兩男兩女,從中隨機(jī)選取兩人在班級進(jìn)行朗讀示范,試用畫樹狀圖法或列表法求所選兩人都是女生的概率,并列出所有等可能的結(jié)果.

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