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【題目】如圖1,已知是等腰直角三角形,,點DBC的中點作正方形DEFG,使點AC分別在DGDE上,連接AE,BG

試猜想線段BGAE的數量關系是______

將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉,

判斷中的結論是否仍然成立?請利用圖2證明你的結論;

,當AE取最大值時,求AF的值.

【答案】1BG=AE.(2成立BG=AE.證明見解析.AF=

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論;
(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出結論;
可知BG=AE,當BG取得最大值時,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出結論.

(1)BG=AE.

理由:如圖1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,點DBC的中點,

∴AD⊥BC,BD=CD,

∴∠ADB=∠ADC=90°.

四邊形DEFG是正方形,

∴DE=DG.

△BDG△ADE中,

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,

∴△ADE≌△BDG(SAS),

∴BG=AE.

故答案為:BG=AE;

(2)①成立BG=AE.

理由:如圖2,連接AD,

Rt△BAC中,D為斜邊BC中點,

∴AD=BD,AD⊥BC,

∴∠ADG+∠GDB=90°.

四邊形EFGD為正方形,

∴DE=DG,∠GDE=90°,

∴∠ADG+∠ADE=90°,

∴∠BDG=∠ADE.

△BDG△ADE中,

BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,

∴△BDG≌△ADE(SAS),

∴BG=AE;

②∵BG=AE,

BG取得最大值時,AE取得最大值。

如圖3,當旋轉角為270°時,BG=AE.

∵BC=DE=4,

∴BG=2+4=6.

∴AE=6.

Rt△AEF中,由勾股定理,得

AF= =,

∴AF=2 .

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