【題目】定義:點P是△ABC內部或邊上的點(頂點除外),在△PAB,△PBC,△PCA中,若至少有一個三角形與△ABC相似,則稱點P是△ABC的自相似點.
例如:如圖1,點P在△ABC的內部,∠PBC=∠A,∠PCB=∠ABC,則△BCP∽△ABC,故點P為△ABC的自相似點.
請你運用所學知識,結合上述材料,解決下列問題:
在平面直角坐標系中,點M是曲線C:上的任意一點,點N是x軸正半軸上的任意一點.
(1) 如圖2,點P是OM上一點,∠ONP=∠M, 試說明點P是△MON的自相似點; 當點M的坐標是,點N的坐標是時,求點P 的坐標;
(2) 如圖3,當點M的坐標是,點N的坐標是時,求△MON的自相似點的坐標;
(3) 是否存在點M和點N,使△MON無自相似點,?若存在,請直接寫出這兩點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)或;(3)存在,
【解析】
試題分析:(1)易證點P是三角形MON的自相似點,過點P作PD⊥x軸于D點根據M、N坐標易知∠MNO=90°,再利用三角函數可求出P點坐標;(2)根據坐標發(fā)現ON=MN=2,要找自相似點只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON,分別畫出圖形,根據圖形性質,結合相似可求出自相似點的坐標;(3)根據前兩問可發(fā)現,要想有自相似點,其實質就是在大角里面做小角,當三個角都相等時,即△OMN為等邊三角形時,不存在自相似點,因此可得到直線OM的解析式y(tǒng)=x,與的交點就是M,從而可以求得N的坐標.
試題解析:(1)在△ONP和△OMN中,
∵∠ONP=∠OMN,∠NOP=∠MON
∴△ONP∽△OMN
∴點P是△M0N的自相似點.
過點P作PD⊥x軸于D點.
∴.
∵,
∴, ∴.
在Rt△OPN中,.
.
. ∴.
(2)①如圖2,過點M作MH⊥x軸于H點,
∵ ,
∴,直線OM的表達式為.
∵是△M0N的自相似點,∴△∽△NOM
過點作⊥x軸于Q點,
∴
∵的橫坐標為1,∴ ∴.
如圖3,△∽△NOM ,
∴ ∴ .
∵的縱坐標為,
∴ ∴,
∴.
綜上所述,或.
(3)存在,.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=2,與x軸的一個交點坐標為(4,0),其部分圖象如圖所示,下列結論:
①拋物線過原點;
②4a+b+c=0;
③a﹣b+c<0;
④拋物線的頂點坐標為(2,b);
⑤當x<2時,y隨x增大而增大.
其中結論正確的是( )
A.①②③ B.③④⑤ C.①②④ D.①④⑤
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,經過點A的雙曲線y=(x>0)同時經過點B,且點A在點B的左側,點A的橫坐標為,∠AOB=∠OBA=45°,則k的值為 .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】【操作發(fā)現】
(1)如圖1,為等邊三角形,先將三角板中的角與重合,再將三角板繞點按順時針方向旋轉(旋轉角大于且小于).旋轉后三角板的一直角邊與交于點.在三角板斜邊上取一點,使,線段上取點,使,連接,.
①求的度數;
②與相等嗎?請說明理由;
【類比探究】
(2)如圖2,為等腰直角三角形,,先將三角板的角與重合,再將三角板繞點按順時針方向旋轉(旋轉角大于且小于).旋轉后三角板的一直角邊與交于點.在三角板另一直角邊上取一點,使,線段上取點,使,連接,.請直接寫出探究結果:
①的度數;
②線段之間的數量關系.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】綜合:
(1)如圖①,在正方形ABCD中,△AEF的頂點E,F分別在BC,CD邊上,高AG與正方形的邊長相等,求∠EAF的度數;
(2)如圖②,在Rt△ABD中,∠BAD=90°,AB=AD,點M,N是BD邊上的任意兩點,且∠MAN=45°,將△ABM繞點A逆時針旋轉90°至△ADH位置,連接NH,試判斷MN,ND,BM之間的數量關系,并說明理由.
(3)在圖①中,連接BD分別交AE,AF于點M,N,若DN=3 ,BM=3 ,求MN的長.
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