Question

如圖，⊙O是Rt△ABC中以直角邊AB為直徑的圓，⊙O與斜邊AC交于D，過D作DH⊥AB于H，又過D作直線DE交BC于點(diǎn)E，使∠HDE=2∠A．
求證：（1）DE是⊙O的切線；（2）OE是Rt△ABC的中位線．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，利用同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，得到∠HOD=2∠A，然后用等量代換得到∠ODE=90°，證明DE是⊙O的切線．
（2）利用（1）的結(jié)論有∠ODE=90°，又已知∠OBE=90°，證明△BOE≌△DOE，得到∠BOE=∠A，所以O(shè)E∥AD，得到點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可以證明OE是△ABC的中位線．
解答：解：（1）連接OD，
則∠HOD=2∠A，
已知∠HDE=2∠A，
則∠HOD=∠HDE，
∵HD⊥AB，
∴∠HOD+∠HDO=90°，
∴∠HDE+∠HDO=90°，
即OD⊥DE，
又OD是半徑，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵DE是⊙O的切線，∠ABC=90°，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
又OB=OD，OE=OE，
∴Rt△BOE≌Rt△DOE，
∴∠BOE=∠DOE，
∴∠HOD=∠BOE+∠DOE=2∠BOE，
又∠HOD=2∠A，
∴∠BOE=∠A，
∴OE∥AD，
而O是AB的中點(diǎn)，
故OE是△ABC的中位線．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的判定，（1）利用同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系，以及等量代換求出∠ODE的度數(shù)，證明DE是⊙O的切線．（2）利用（1）的結(jié)論證明兩三角形全等，得到相等的角度，再用同位角相等兩直線平行和三角形中位線的性質(zhì)證明OE是△ABC的中位線．