Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于C點，AB一條外公切線，A、B分別為切點，連接AC、BC．設(shè)⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，若tan∠ABC=

2

，則

R

r

的值為（　�。�

A． 2

B． 3

C．2

D．3

Answer 1

如圖，連接O₂B，O₁A，過點C作兩圓的公切線CF，交于AB于點F，作O₁E⊥AC，O₂D⊥BC，


由垂徑定理可證得點E，點D分別是AC，BC的中點，
由弦切角定理知，
∠ABC=∠FCB=

1

2

∠BO₂C，∠BAC=∠FCA=

1

2

∠AO₁C，
∵AO₁∥O₂B，
∴∠AO₁C+∠BO₂C=180°，
∴∠FCB+∠FCA=∠ACB=90°，
即△ACB是直角三角形，
∴∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁，
設(shè)∠ABC=∠BO₂D=∠ACO₁=β，
則有sinβ=

BC

2r

，cosβ=

AC

2R

，
∴tanβ=

R

r

?

BC

AC

=

R

r

?

1

tanβ

，
∴（tanβ）²=

R

r

=2．
故選C．