Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

．
（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1）．
①求使y＜0成立的x的取值范圍．
②若圓心在該函數(shù)的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，求圓心的坐標(biāo)．
（2）經(jīng)過(guò)A（0，p）的直線與該函數(shù)的圖象相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M，N作x軸的垂線，垂足分別為M₁，N₁，設(shè)△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積分別為S₁，S₂，S₃，是否存在m，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)p≠0都有S₂²=mS₁S₃成立？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

，以及函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1），得出關(guān)于a，b，c的方程組，解方程組求出a，b，c的值．
①畫出圖象，即可得出使y＜0成立的x的取值范圍；
②根據(jù)圓與直線相切得出OQ=FO，再解一元二次方程即可得出；
（2）分別過(guò)M，N作直線l：y=-1的垂線，垂足分別是M₁和N₁．分別表示出△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面積S₁，S₂，S₃再條件S₂²=mS₁S₃成立進(jìn)而求出m的值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

，
又∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-1），
代入二次函數(shù)解析式得：

- b 2a =0 ac= 1 4 a-b+c=-1

，
解得：

a=- 1 2 b=0 c=- 1 2

，
y=-

1

2

x²-

1

2

，
①利用函數(shù)圖象可知使y＜0成立的x的取值范圍是：全體實(shí)數(shù)；
②若圓心在該函數(shù)的圖象上的圓與x軸、y軸都相切，
假設(shè)與x軸切點(diǎn)為Q，與y軸切點(diǎn)為F，
∴OQ=FO，
∴-x=-

1

2

x²-

1

2

，
整理得：x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴QO=FO=1，
∴圓心的坐標(biāo)為：（1，-1）或（-1，-1）；

（2）二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

p

2

)，且ac=

1

4

．
∴該二次函數(shù)的解析式為：y=

1

2p

x²+

p

2

，
∵過(guò)點(diǎn)A的直線與函數(shù)y=

1

2p

x²+

p

2

的圖象交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴過(guò)點(diǎn)A的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=kx+p，
S₁=

1

2

|x₁|•|y₁|，
S₂=

1

2

|x₁-x₂|•|p|，
S₃=

1

2

|x₂||y₂|，
把y=kx+p代入y=

1

2p

x²+

p

2

得，x²-2pkx-p²=0，
∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，
∴S₁S₃=

1

4

|x₁x₂y₁y₂|=

1

4

p²|（kx₂+p）（kx₂+p）|=

1

4

p⁴（k²+1），
S₂²=

1

4

（x₂-x₁）²p²=p⁴（k²+1）．
∴4S₁S₃=S₂²，故存在m=4，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)p≠0成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及圓的切線性質(zhì)和三角形面積求法，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．