Question

（2010•達州）如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．下列條件中，能證明△ABC是直角三角形的有

①②④

（多選、錯選不得分）．
①∠A+∠B=90°               
②AB²=AC²+BC²
③

AC

AB

=

CD

BD

                
④CD²=AD•BD．

Answer 1

分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°、勾股定理、余弦函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)等來逐一判斷各結(jié)論是否符合題意即可．

解答：解：①∵三角形內(nèi)角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故選項①正確．
②AB，AC，BC分別為△ABC三個邊，由勾股定理的逆定理可知，②正確．
③題目所給的比例線段不是△ACB和△CDB的對應(yīng)邊，且夾角不相等，無法證明△ACB與△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③錯誤；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD²=AD•BD，（即

CD

AD

= 

BD

CD

）
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故選項④正確；
故正確的結(jié)論為①②④．

點評：本題考查直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等知識的應(yīng)用，只要利用直角三角形的這些特性加以判斷即可．