Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，點E是AD延長線上一點，若DE=AB=3cm，CE=4cm．
（1）添加四邊形ABCD的對角線AC、BD后，請寫出圖中的一對全等三角形、一對（非全等的）相似三角形，并證明這對三角形全等；
（2）求AD的長．

Answer 1

解：（1）△ABC≌△EDC，△BCD∽△ACE．
證明：在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=180°，
又∠ADC+∠CDE=180°，∴∠ABC=∠EDC，
又∵AB=ED，BC=DC，
∴△ABC≌△EDC．

（2）由△ABC≌△EDC可得：AC=CE，∠ACE=∠BCD=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．
過點C作CH⊥AE于點H，
∴CH=HE=AH．
由CH²+HE²=CE²，可得：2CH²=（4）²，
∴CH=4cm．
∴AD=AE-DE=2AH-DE=8-3=5cm．
分析：（1）先得出結(jié)論：△ABC≌△EDC，△BCD∽△ACE；在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，得∠ABC+∠ADC=180°，再根據(jù)∠ADC+∠CDE=180°，則∠ABC=∠EDC，從而得出△ABC≌△EDC．
（2）由△ABC≌△EDC可判定△ACE是等腰直角三角形．過點C作CH⊥AE于點H，則CH=HE=AH．由勾股定理得出CH=4cm．即可得出AD．
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，是中考常見的題型要熟練掌握．