Question

已知二次函數(shù)y=（x-1）²-4的圖象如圖所示．
（1）求拋物線與x軸交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），及與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，求△BCD的面積S；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)E，使以A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）y=0，即可求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；x=0，可求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）易得△BCD為直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式即可求得△BCD的面積S；
（3）利用當(dāng)AB∥CE時(shí)，②當(dāng)AC∥BE時(shí)，③當(dāng)AE∥BC時(shí)分別求出即可．
解答：解：（1）0=（x-1）²-4，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0）B（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，
∴C（0，-3）；

（2）∵y=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），
∴BC=，BD=，CD=，
∴BC²+CD²=BD²，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD的面積S=××=3；

（3）∵A、B、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，
∴①當(dāng)AB∥CE時(shí)，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-3，
∴-3=（x-1）²-4，
解得x₁=2，x₂=0，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-3）．
②當(dāng)AC∥BE時(shí)，
由B，C，的坐標(biāo)可求直線BC的解析式為：y=x-3，
故直線AE的解析式為：y=x+b，
將A（-1，0）代入得出：y=x+1，
將兩函數(shù)聯(lián)立得出：x+1=（x-1）²-4，
解得：x₁=-1，x₂=4，
當(dāng)x=4時(shí)y=5，
故E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，5），
③當(dāng)AE∥BC時(shí)，直線AC的解析式為：y=-3x-3，
直線BE的解析為：y=-3x+9，
將兩函數(shù)聯(lián)立得出：-3x+9=（x-1）²-4，
解得：x₁=-4，x₂=3，
當(dāng)x=-4時(shí)y=21，
故E點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4，21），
綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-3），（4，5），（-4，21）．
點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：拋物線與x軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；平行與x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．